Diskussion:Cauchyscher Hauptwert

Der jetzige Artikel genügt dem Cauchyschen Hauptwert für reellwertige Funktionen $f(x)$. Weiß jemand mehr über den Cauchyschen Hauptwert im Komplexen?

Ich habe vor, dem Artikel grafische Veranschaulichungen und konkrete Rechenbeispiele hinzuzufügen, Anregungen dazu sind immer herzlich willkommen.

--LukasHager 02:55, 16. Dez 2005 (CET)

Gibt es im Komplexen überhaupt so etwas? Da kann man doch um Pole einfach herumlaufen, und man kann vor allem nicht einheitlich festlegen, ob man am Pol schon vorbei ist oder nicht.--Gunther 03:04, 16. Dez 2005 (CET)

Entzieht sich leider meiner Kenntnis. --LukasHager 04:06, 16. Dez 2005 (CET)

Man kann um Pole herumlaufen. Aber wenn man das nicht macht, kann man für das Kurvenintegral einen Cauchyschen Hauptwert definieren ([1]), oder man kann als Hauptwert das arithmetische Mittel der beiden Möglichkeiten nehmen ([2]). Außerdem kann man für mehrdimensionale Integrale einen Cauchyschen Hauptwert definieren, indem man eine Kugel mit Radius ε um die Singularität entfernt ([3]). --91.32.76.241 17:44, 26. Apr. 2010 (CEST)

Sprache muss präzisiert werden

Es heißt derzeit im Artikel:

Ist das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ uneigentlich an $c\in (a,b)$ ...

Die erste Formel enthält keinen freie Variable namens $c$. Deshalb ist es sinnlos von einen Ort $c$ zu schreiben, an dem das Integral (die Formel) uneigentlich sei.

Beim ersten Beispiel $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x$ sieht man was eigentlich gemeint ist: Der Integrand ist an einer Stelle (hier $x=0$) undefiniert. Dieses Beispielintegral ist offensichtlich nach den Definitionen von Uneigentlich gar kein uneigentliches Integral (weder erster noch zweiter Art), denn es hat weder einen unbegrenzten Integrationsbereich, noch ist der Integrand an den Integrationsgrenzen undefiniert.

--87.183.174.165 21:46, 17. Okt. 2010 (CEST)

Hm... Da $\textstyle {\frac {1}{x}}$ für 0 nicht definiert ist, ist das Integral $\textstyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x$ ja definiert als

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x:=\int _{-1}^{0}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x.$

Die beiden rechten Integralausdrücke sind uneigentliche Integrale zweiter Ordnung. Auch im allgemeinen Fall wollte man sich das Aufdröseln ersparen. Soll das noch eingebaut werden? --Christian1985 ( 21:58, 17. Okt. 2010 (CEST)

Deine beiden Summanden sind undefiniert. Entsprechende Grenzwerte existieren nicht (in $\mathbb {R}$). --87.183.191.216 21:33, 18. Okt. 2010 (CEST)

Stimmt aber im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes. Das heißt der Ausdruck

$\lim _{\epsilon \to 0}(\int _{-1}^{-\epsilon }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x)$

ist endlich. Da eben das unegentliche Integral von oben nicht konvergiert, bildet man den Cauchyschen Hauptwert. Ich denke schon dass es legitim ist von einem uneigentlich Integral zu sprechen auch wenn es nicht konvergiert. Leider habe ich gerade keine formale Definition da und Du hast recht es wiederspricht dem Abschnitt über uneigentliche Integrale. Wie würdest du es umformulieren? Mir gefällt diese Definition dennoch, in der Mathematik muss man solche kleinere Verallgemeinerungne manchmal hinnehmen. --Christian1985 ( 23:0Stimmt aber im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes.0, 18. Okt. 2010 (CEST)

1. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html

An improper integral is a definite integral that has either or both limits infinite or an integrand that approaches infinity at one or more points in the range of integration.

spricht dafür, das Integral $\int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x$ als uneigentlich zu bezeichen.

In der deutschsprachigen wird diese Definition nicht übernommen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung#Uneigentliche_Integrale_erster_und_zweiter_Art

Besitzt der Integrand an einem Intervallende eine Singularität, so spricht man von uneigentlichen zweiter Art.

Das muss man abklären. Es kann durchaus sein - was ich nicht überblicke -, dass im deutschen Integralen mathetmatischen Schrifttum diese deutschsprachige Definition akzeptiert ist, dann erhalte ich meinen zweiten Einwand aufrecht.

2. Das alles ändert nichts an meinem Einwand, dass es sinnlos ist, zu sagen, dass das Integral (und nicht - was tatsächlich der Fall ist -: der Integrand) sei an einer gewissen Stelle nicht definiert. Es gibt einfach keine "Orte" "wo" das Integral definiert und andere, "wo" es nicht definiert wäre.--79.197.112.88 13:45, 19. Okt. 2010 (CEST)