Benutzer:Alisaralph/Spielwiese

Verallgemeinerungsprinzip

Mit dem Verallgemeinerungsprinzip können Probleme einfacher gelöst werden, indem man sie verallgemeinert, und somit der Beweis auch für das Ursprungsploblem (welches ja dann ein Spezialfall der Verallgemeinerung ist) gilt. Wenn man so zum Beispiel für Formeln beweist, dass sie für komplexe Zahlen gelten, so gelten sie logischerweise auch für reelle,rationale,natürliche... Zahlen. Ein weiteres bekanntes Beispiel ist das folgende Flächenproblem:

Das Flächenproblem

Gesucht ist die Fläche unter einer Kurve, die einem "krummligen" Trapez ähnelt. Die Fläche wird auf das Intervall [a,b] beschränkt. Folgendes Bild beschreibt die Fragestellung.

Frühere Mathematiker hätten diese Fläche in kleinere zerteilt, Grenzwertübergänge betrachtet, etc. Heute kennen wir ein wesentlich einfacheres Verfahren, welches man bereits in der Schule kennen lernt (aber nicht unter dem Namen Verallgemeinerungsprinzip). Wir betrachten dasselbe Problem auf dem Intervall [a,x], wobei x eine beliebige Zahl ist, die größer als a ist. Dieses Problem beinhaltet offensichtlich auch das Intervall [a,b]. Wir haben das Problem also verallgemeinert.

Spätestens jetzt wird klar, dass man lediglich die Stammfunktion bilden muss und folgend x=b setzen kann um eine Lösung unseres Ausgangsproblems zu erhalten. Wir haben also durch eine Verallgemeinerung sehr schnell und einfach eine Lösung gefunden.

Quellen

• "Das kleine Einmaleins des klaren Denkens: 22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben" von Christian Hesse, Verlag: Beck; Auflage: 2 (14. Mai 2009)