Benutzer:RSstudent/Innere Volumina

Unter einem inneren Volumina versteht man in der Konvexgeometrie ein Funktional, das einem konvexen Körper eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.

Im Allgemeinen wird das m-te innere Volumen mit $V_{m}$ abgekürzt.

Der Grundgedanke des inneren Volumens ist es, den konvexen Körpers aufzuteilen, um die Berechnung des Volumens zu vereinfachen bzw. in manchen Fällen überhaupt zu ermöglichen.

Definition

Im Folgenden sei $K^{n}$ der n-dimensionale Raum der konvexen Körper und $\kappa _{n-m}$ das Volumen des (n-m)-dimensionalen Balles.

Desweiteren sei für $K\in K^{n}$ der Parallelkörper $K_{\varphi }$ mit Abstand $\varphi$ folgendermaßen definiert: $K_{\varphi }:=K+\varphi \cdot B^{n}$

Definition inneres Volumen

Man spricht bei $V_{m}$ von einem m-ten inneren Volumen, wenn Funktionale $V_{m}:K^{n}\to \mathbb {R}$ existieren, die folgende Gleichung erfüllen:

$V_{n}(K_{\varphi })=\sum _{m=0}^{n}\varphi ^{n-m}\kappa _{n-m}V_{m}(K)$

Eigenschaften

Innere Volumina sind:

• bewegungsinvariant

• dimensionsunabhängig

d.h. dass $V_{n}(K)=V_{n-1}(K)$ für $K\in K^{n-1}$

• homogen

d.h. es gilt für $K\in K^{n},\lambda \in \mathbb {R}$: $V_{m}(\lambda K)=\lambda ^{m}\cdot V_{m}(K)$

• monoton

d.h. es gilt für $K,L\in K^{n}$: $K\subset L\Rightarrow V_{m}(K)\subset V_{m}(L)$

• additiv

d.h. es gilt für $K,L\in K^{n}$ und $K\cap L\in K^{n}$: $V_{m}(K\cap L)+V_{m}(K\cup L)=V_{m}(K)+V_{m}(L)$

• positiv

d.h. es gilt für $K\in K^{n}$: $V_{m}(K)\geq 0$

Bedeutung

Eindeutigkeit

Durch diese Eigenschaften ist die Bedeutung der inneren Volumina erkennbar: Es werden stetige Funktionale gesucht, die additv, invariant unter Bewegungen sind und die laut Definition geforderte Eigenschaft erfüllen - dies können aber nur die inneren Volumina und ihre Linearkombinationen erfüllen.

Geometrische Bedeutung

Auf Grund der Definition und dem Grundgedanken sind einige spezielle innere Volumen gleichbedeutend mit anderen mathematischen Berechnungen. Diese sind im Folgenden zusammengestellt:

• $V_{n}(K)$ entspricht dem Volumen von K

• $V_{n-1}(K)$ entspricht der halben Oberfläche von K

• $V_{1}(K)$ ist bis auf einen konstanten Faktor die mittlere Breite von K.

• $V_{0}(K)=1$ für alle nichtleeren konvexen Mengen. Diese wird auch Euler-Charakteristik von K genannt.

Darstellung

Es existieren noch weitere äquivalente Definitionen des n-ten inneren Volumens:

Mit Hilfe des Satzes von Steiner:

$V_{n}(K_{\varphi })=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}\varphi ^{m}Q_{m}(K)$

Hierbei ist $Q_{m}(K)$ das m-te Quermaßintegral und steht mit dem inneren Volumina im Zusammenhang:

$\kappa _{n-m}V_{m}(K)={\binom {n}{m}}Q_{n-m}(K)$

Mit Hilfe des äußeren Winkels:

Im Folgenden seien $K^{i}$ k-dimensionale Seiten des Polygons $K$ und $\gamma (K^{i})$ der äußere Winkel.

$V_{k}(K)=\sum _{i=1}^{f_{k}}V_{k}(K^{i})\gamma (K^{i})$