The Complexity of Songs

The Complexity of Songs

(en, de: Über die Komplexität von Liedern) ist ein im Jahre 1977 von dem Informatiker Donald Ervin Knuth veröffentlichter Fachartikel und wissenschaftlicher Witz. Er analysiert darin die Länge von Liedern in Abhängigkeit vom zu lernenden Text mit den Methoden der Komplexitätstheorie. Der Artikel polemisiert zudem eine angebliche Tendenz populärer Musik von komplexen Balladen hin zu stark repetitiven Texten beziehungsweise Trivialität. Die Erstveröffentlichung erfolgte 1977 in SIGACT News, 1984 wurde der Artikel in den Communications of the ACM nachgedruckt.

Zusammenfassung

Knuths Artikel eröffnet mit der Beobachtung, dass das Singen der meisten Lieder der Länge $n$ das Lernen von Text der Länge $n$ voraussetzt. Bei wachsender Liedzahl strapaziere diese Eigenschaft die Speicherkapazitäten des Gedächtnisses. Als ein einfaches Konzept zur effizienteren Verwaltung von Speicher führt er das Konzept des Refrains ein. In einem ersten Lemma beweist er mit einer elementaren Rechnung, dass dieses Konzept die benötigte Speicherkapazität um einen konstanten Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c<1} reduzieren kann.

Im direkten Anschluss analysiert er ein Konzept, das dieses Resultat weiter verbessert: Anhand des Liedes Echad Mi Yodea (he: אחד מי יודע, ji: ver ken zogn ver ken redn) beweist er die Existenz von Liedern mit asymptotischer Speicherkomplexität von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(\sqrt{n})} . Als konzeptuell vergleichbar nennt er das Lied

Green Grow the Rushes, O

, (auch

The Dilly Song

) Alouette, Ist das nicht ein Schnitzelbank und weitere Lieder mit dieser Struktur. Als eine Verbesserung im Koeffizienten diskutiert er die Struktur des Liedes

Old McDonald had a Farm

ausführlich in einem Lemma. In einer Untersuchung von Zählreimen anhand des Beispiels von

99 Bottles of Beer

konstruiert er Lieder mit logarithmischem Speicherbedarf, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(\log n)} . Er betrachtet dafür das Schema mit den Versen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_k} . dabei setzt er

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} V_k = &T_k \ast B\ast W\ast ',' \\ &T_k\ast B \ast ';' \\ &'\mbox{If one of those bottles should happen to fall, }'\\ &T_{k-1}\ast B\ast W\ast'.' \end{align}}

Dabei ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} B&= '\mbox{ bottles of Beer}'\\ W&= '\mbox{ on the Wall}' \end{align} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ast} ist die Verkettung von Strings und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_k} eine Einbettung der natürlichen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} in die englische Sprache. Aufgrund der logarithmischen Zahlendarstellung des Dezimalsystems lässt sich so eine Einbettung mit logarithmischem Speicheraufwand konstruieren. Offensichtlich haben dann die rekursiv erklärten Lieder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_0=\varepsilon} , das leere Lied, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_{n+1}=V_{n+1} \ast L_n} eine logarithmische Komplexität für große $n\in \mathbb {N}$.

Dieses Resultat habe sich in allen Situationen, die eine Liedgeneration bei begrenztem Speicherplatz erfordern, als mehr als ausreichend bewährt. Eine nicht weiter optimierbare Struktur sieht er in dem Song

That’s the Way (I Like It)

der US-amerikanischen Band KC and the Sunshine Band. Die Entwicklung dieser Struktur sieht er durch die Notwendigkeit größerer Liedinstanzen bei minimalem Speicherplatz durch den Fortschritt moderner Drogentechnologie bedingt. Er beweist in einem kurzen Argument dessen konstante Komplexität (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(1)} ) und schließt sein Papier mit dem Hinweis auf das offene Problem des Studiums nichtdeterministischer Liedstrukturen. (siehe Aleatorik)

Rezeptionen

In einem Leserbrief an die ACM wies Kurt Eisemann (San Diego State University) auf eine bekannte Verbesserung der Komplexitätsabschätzung hin, indem die $L_{n}$ wie oben zu betrachten seien. Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_k='\mbox{la}'} , habe man eine Verbesserung der von Knuth vorgeschlagenen Methode um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=\frac{2}{53}= 0.037736\dots} . Eine Komplexität von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(0)} könne man durch die Nutzung stiller Datenstrukturen erreichen. Darrah Chavey griff Knuths Idee ernsthaft auf, um einen didaktischen Ansatz zur Erläuterung von Methoden der Informatik zu entwickeln.