Hohmann-Transfer

Die Hohmann-Bahn (gelb) verbindet zwei Kreisbahnen, z. B. eine erdnahe Bahn (grün,

r_{e}=R

) mit dem geostationären Orbit (rot,

r_{a}=R'

, nicht maßstäblich).

Der Hohmann-Transfer ist ein energetisch günstiger Übergang zwischen zwei Bahnen um einen dominierenden Himmelskörper. Die Transfer-Ellipse (Hohmann-Bahn) verläuft sowohl zur Ausgangsbahn als auch zur Zielbahn tangential; dort ist jeweils ein Kraftstoß

(kick burn)

nötig, um die Geschwindigkeit anzupassen. Eine solche Skizze findet sich bereits um 1911 bei Ziolkowski. 1925 wurde dieser Transfer von Walter Hohmann als optimal angesehen.^[1] Für koplanare, kreisförmige Ausgangs- und Zielbahnen mit einem Radiusverhältnis unter 11,94 ist er das auch, für extremere Verhältnisse und stark gegeneinander geneigte oder gar gegenläufige Bahnen ist ein bi-elliptischer Transfer energetisch günstiger.

Den idealisierenden Voraussetzungen nahe kommt die Aufgabe, Satelliten aus einer erdnahen in eine geostationäre Umlaufbahn zu bringen, siehe geostationäre Transferbahn. Für Flüge zum Mond oder benachbarten Planeten ist die Zentralfeld-Näherung weniger gut – mit Swing-by-Manövern und zeitraubenden Umwegen^[2] lässt sich gegenüber dem analytisch gefundenen Hohmann-Transfer Treibstoff sparen.

Berechnung am Beispiel des Transfers auf die geostationäre Bahn

Um Satelliten geostationär zu positionieren, werden diese oft zunächst auf eine kreisförmige, niedrige Umlaufbahn gebracht,

Low Earth Orbit

(LEO), siehe (1) in der Grafik. Ein erster Kraftstoß ( $\Delta v_{e}$ ) bringt den Satelliten auf die elliptische Hohmann-Bahn (2), deren Apogäum im Bereich des Zielorbits (3) liegt. Dort erhöht ein weiterer Kraftstoß ( $\Delta v_{a}$ ) auch das Perigäum der Bahn, die damit wieder kreisförmig ist.

Geschwindigkeiten

Gesamtenergie-Bilanz beim Hohmann-Übergang zwischen zwei Kreisbahnen mit dem Anfangsradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_p} und dem Endradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_a} . Die schwarze Linie gibt die Energie für Kreisbahnen mit dem jeweiligen Radius an.

Nach der Vis-Viva-Gleichung beträgt die Geschwindigkeit v(r) eines Körpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse a um die Erde:

(1) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = \sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) }}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu = M \cdot \gamma } , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} die Erdmasse und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} die Gravitationskonstante sind. Bezeichnen $r_{\mathrm {e} }$ den Perigäums- bzw. LEO-Radius, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_\mathrm{a}} den Apogäums- bzw. GEO-Radius und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = \frac{r_\mathrm{e} + r_\mathrm{a}}{2} } die große Halbachse der Transferellipse, so gelten für die Ausgangsgeschwindigkeit v_LEO, Perigäumsgeschwindigkeit v_e, Apogäumsgeschwindigkeit v_a sowie Endgeschwindigkeit v_GEO die folgenden Gleichungen:

(2) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{LEO} = \sqrt{ \frac{\mu}{r_\mathrm{e}} }}

(3) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{e} =\sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r_e} - \frac{1}{a} \right) } > v_\mathrm{LEO}}

(4) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{a} = \sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r_a} - \frac{1}{a} \right) } < v_\mathrm{GEO}}

(5) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{GEO} = \sqrt{ \frac{\mu}{r_\mathrm{a}} }} .

Zahlen

Folgende Werte seien gegeben:

r_{\mathrm {LEO} }=r_{\mathrm {e} }=6.678\,\mathrm {km}

gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Anfangsflughöhe von 300 km

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_\mathrm{a} = r_\mathrm{GEO} = 42.164\, \mathrm{km}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu = 398.600\, \mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2}

Dann betragen die gemäß obigen Gleichungen berechneten Bahngeschwindigkeiten:

(6) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{LEO} = 7{,}73\, \mathrm{km}/\mathrm{s}}

(7) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{e} = 10{,}15\, \mathrm{km}/\mathrm{s}}

(8)

v_{\mathrm {a} }=1{,}6\,\mathrm {km} /\mathrm {s}

(9) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_\mathrm{GEO} = 3{,}07\, \mathrm{km}/\mathrm{s}}

Daraus ergeben sich die beiden benötigten Geschwindigkeitsänderungen.

Für den Übergang vom LEO zur Transferellipse: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta v_e = v_\mathrm{e} - v_\mathrm{LEO} = 2{,}47\, \mathrm{km}/\mathrm{s}}

Für den Übergang von der Transferellipse zum GEO: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta v_a = v_\mathrm{GEO} - v_\mathrm{a} = 1{,}46\, \mathrm{km}/\mathrm{s}}

Energieaufwand in Abhängigkeit vom Radiusverhältnis

die für den Hohmann-Transfer nötige Geschwindigkeitsänderung in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsverhältnis von Ausgangs- und Zielorbit

Die Ellipse des Hohmann-Transfers wird durch die Geschwindigkeiten der Ausgangs- und Zielkreisbahn beschrieben. Um von einer Ausgangskreisbahn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_e} in die Ellipse überzugehen sowie am Ziel wieder in eine Kreisbahn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_a} zu gelangen, sind zwei Impulsstöße bzw. zwei Geschwindigkeitsänderungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta v_e} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta v_a} notwendig. Zur Betrachtung des benötigten Energieaufwandes kann dann auch noch die gesamte Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta{v} = \Delta{v}_a+\Delta{v}_e} betrachtet werden. Die Transferellipse ist durch die Halbachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{r_a + r_e}{2} \text{ mit } r_a > r_e > 0} beschrieben.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta v_e = v_e \left( \sqrt{\frac{2 r_a}{r_e+r_a}} - 1 \right)} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta v_a = v_a \left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_e}{r_a+r_e}} \right) }

Zur weiteren Diskussion ist es zweckmäßig, die Größe der Dimension Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\Delta{v}}{v_e} = \frac{\Delta{v}_e}{v_e}+\frac{\Delta{v}_a}{v_e}= \frac{\Delta{v}_e}{v_e}+\frac{r_e}{r_a}\frac{\Delta{v}_a}{v_a}} zu betrachten. Mit der Hilfsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R = \frac{r_a}{r_e} > 0} ergibt sich dann:

{\frac {\Delta {v}}{v_{e}}}=\left(1-{\frac {1}{R}}\right)\left({\frac {2R}{1+R}}\right)^{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{R}}\right)^{\frac {1}{2}}-1

Wann sich der Hohmann-Transfer als brauchbar erweist, lässt sich durch genauere Diskussion der Geschwindigkeitsänderung ermitteln. Durch Ableitung und Gleichsetzung mit Null kann ein Extremwert der vorgenannten Formel ermittelt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{d(\Delta{v}/v_e)}{dR}= \frac{1}{R^2} \left[\frac{2R}{1+R}\right]^{\frac{1}{2}}+ \frac{R-1}{R(1+R)^2} \left[\frac{2R}{1+R}\right]^{-\frac{1}{2}}- \frac{1}{2R^\frac{3}{2}}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow R^3-15R^2-9R-1 = 0 }

Die einzige sinnvolle Lösung ergibt sich für $R=15{,}582$ . Das Verhältnis $r_{a}/r_{e}$ für ein Maximum ist also durch den Zusammenhang: $r_{e}\cdot 15{,}582=r_{a}$ gegeben. Weiter ist die Ableitung für jedes $R>15{,}582$ streng monoton steigend. D. h., dass sich für jedes größere Verhältnis $r_{a}/r_{e}$ der Energieaufwand wieder verringert.

Beispiel

Transferbahn zum Mars

Transfer Erde→Mars mit 1 Erd-Umlaufbahn (türkis), 2 Hohmann-Transfer-Ellipse (gelb) und 3 Mars-Umlaufbahn (rot)

Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nächsten. Ein Raumschiff oder eine Raumsonde kann diese geometrische Nähe aber nur unter hohem Aufwand nutzen, da in diesem Fall gegen die Bahnbewegung der Erde angeflogen werden müsste.

Nach Hohmann dagegen ist der energetisch günstigste Transfer derjenige, bei dem das Raumfahrzeug den Mars in Konjunktion zu der Position der Erde erreicht, von der aus es gestartet ist. In der Abbildung links umkreist das Raumfahrzeug zunächst die Erde (blaue Umlaufbahn 1), wechselt dann am in der Abbildung unteren Schnittpunkt (von 1 mit 2) durch einen Schubimpuls zum Transfer via der elliptischen Hohmann-Bahn (gelbe Transferbahn 2), bis sie am in der Abbildung oberen Schnittpunkt (von 2 mit 3) den Mars erreicht, um durch einen weiteren Schubimpuls nun diesen zu umkreisen (rote Umlaufbahn 3). Dabei grenzt die Transferellipse in den beiden Positionen auf der Hauptachse jeweils tangential an die Umlaufbahn der Erde bzw. an die vom Mars und die Sonne steht in einem ihrer Brennpunkte. Daher ist die doppelte große Halbachse der Transferellipse die Summe der Entfernungen von der Erde zur Sonne und von der Sonne zum Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von achteinhalb Monaten.

Transferbahn einer Mars-Sonde

Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters, die zwar einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn erfordert (die Übergangsbahn führt über die Marsbahn hinaus), dafür dauert die Reisezeit allerdings nur sieben Monate.

Weak Stability Boundary

Soll der Zielplanet mit einer möglichst geringen Geschwindigkeit angeflogen werden, bietet das sogenannte Weak-Stability-Boundary-Verfahren einen weiteren Energiegewinn. Die Sonde wird abgebremst, indem sie entlang von Librationspunkten manövriert wird. Eine erste brauchbare Bahnberechnung erfolgte 1986. Die ESA-Sonde SMART-1 näherte sich nach dieser Methode dem Mond.

Siehe auch

Hillsche Gleichungen

Literatur

Pedro Ramon Escobal: Methods of astrodynamics. John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-24528-5.
Palmore: An Elementary Proof of the Optimality of Hohmann Transfer. Journal of Guidance, 1984.
Chapter: 8.3 Hohmann Transfer. In: Ulrich Walter: Astronautics: The Physics of Space Flight, Third Edition, Springer, ISBN 978-3-319-74372-1, S. 313–325

Weblinks

Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries (PDF; 9,3 MB)
Herleitung der Formel für die Bahngeschwindigkeit v eines sich in einem Kraftfeld auf elliptischer Bahn bewegenden Körpers (LEIFI)
Interplanetary Trajectories-Hohmann Transfer Orbits, jpl.nasa.gov, abgerufen am 4. November 2011

Einzelnachweise

↑ Walter Hohmann: Die Erreichbarkeit der Himmelskörper – Untersuchungen über das Raumfahrtproblem. Oldenbourg, München 1925
↑ Shane D. Ross: The Interplanetary Transport Network, American Scientist 94, 2006, S. 230–237, doi:10.1511/2006.3.230 (online).

[1] Walter Hohmann: Die Erreichbarkeit der Himmelskörper – Untersuchungen über das Raumfahrtproblem. Oldenbourg, München 1925

[2] Shane D. Ross: The Interplanetary Transport Network, American Scientist 94, 2006, S. 230–237, doi:10.1511/2006.3.230 (online).

[1]

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