Disjunkte Vereinigung

Die disjunktive Vereinigung der Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ist eine andere Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \sqcup B} , die aus allen Elementen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und

B

konstruiert wird, ohne verdoppelte Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} als "dieselben" zu identifizieren. Im Bild besitzt jedes Polygon ein "Etikett", welches die Unterscheidung von sonst gleichen Figuren ermöglicht.

Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

Definition

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die beiden Definitionen stellen die verschiedenen Sachverhalte dar, die jedoch beide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden. Daher muss der Begriff abhängig von seinem Kontext verstanden werden. Die Notationen im Artikel werden in der Literatur nicht nur in dieser Art verwendet, meist letztere für ersteren Umstand.

Vereinigung disjunkter Mengen

Eine Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist die disjunkte Vereinigung eines Systems Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_i)_{i\in I}} von Teilmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i\subseteq X} , geschrieben

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i, }

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i\cap X_j=\varnothing,} falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\ne j} , das heißt also, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} sind paarweise disjunkt;
$\textstyle X=\bigcup \limits _{i\in I}X_{i}$ , das heißt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist die Vereinigung aller Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} .

Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen

Sind Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\in I} gegeben, so heißt die Menge

\bigsqcup _{i\in I}X_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}

die disjunkte Vereinigung der Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} . Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Disjunkte Vereinigung topologischer Räume

Seien $(X,\tau )$ und $(Y,{\tilde {\tau }})$ topologische Räume. Die disjunkte Vereinigung von $X$ und $Y$ ist gegeben durch $X\sqcup Y=(X\times \{0\})\cup (Y\times \{1\})$ . Versehen mit der Topologie $\tau \sqcup {\tilde {\tau }}=\{U\sqcup V:U\in \tau {\text{ und }}V\in {\tilde {\tau }}\}$ , ist $(X\sqcup Y,\tau \cup {\tilde {\tau }})$ wieder ein topologischer Raum. Man spricht auch von der "topologischen Summe" von $X$ und $Y$ .^[1]

Eigenschaften

Für die Mächtigkeiten gilt: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \left|\bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}\right|=\sum _{i\in I}|X_{i}|} . In der Kardinalzahlarithmetik ist die Summe gerade durch diese Beziehung definiert.
Die disjunkte Vereinigung $\bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}$ ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen $f\colon \bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}\to Y$ entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen $(f_{i})_{i\in I}$ mit $f_{i}\colon X_{i}\to Y$ .
Sind die Mengen $X_{i}$ disjunkt, so ist die kanonische Abbildung $\bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}$ bijektiv.

Beispiele

Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen

Disjunkte Vereinigung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \{1, 2, 3\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \{4, 5, 6\}} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\cap B=\varnothing } Beide Mengen sind disjunkt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\;\dot{\cup}\; B=C}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} ist die disjunkte Vereinigung der Mengen $A$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ⇒ $C=\{1,2,3,4,5,6\}$
Die Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} bilden hierbei eine Partition der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C}
Die disjunkte Vereinigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \sqcup B} im zweiten Sinn liefert die Paarmenge $D=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(2,6)\}$ . Die Projektion $\pi _{2}$ bildet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} bijektiv auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} ab.

Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen

Disjunkte Vereinigung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_1 = \{1,2,3\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_2 = \{1,2,3,4\}} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I = \{1,2\}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \bigsqcup\limits_{i \in I} X_i = \bigcup\limits_{i \in I}\{(i,x)\mid x \in X_i\} = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}}

Einzelnachweise

↑ Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 15.

[1] Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 15.

[1]

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