Additive Funktion

Additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

Definition

Eine Funktion $f$ heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

erfüllt. Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von $\mathbb {Z}$-Linearität.

Sub- und Superadditive Funktionen

Ist $M$ eine Halbgruppe mit der Verknüpfung $+$, so heißt eine Abbildung $f\colon M\to \mathbb {R}$ subadditiv, wenn für alle $x$ und $y$ aus $M$ gilt:

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle $x$ und $y$ aus $M$ gilt:

$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$.

Beispiele

• Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.
• Sublineare Funktionen sind subadditiv.
• Lineare Abbildungen sind additiv.

Eigenschaften

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
• Ist $f$ eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ von Elementen aus $M$:

$f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})$

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie

Bei zahlentheoretischen Funktionen $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$ betrachtet man als Verknüpfung auf $\mathbb {N}$ die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

$f(xy)=f(x)+f(y)$

für alle teilerfremden $x$ und $y\in \mathbb {N}$ gilt. Gilt dies sogar für alle $x$ und $y$, so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auch

• σ-Subadditivität
• σ-Additivität