Komplexe Fläche

In der Mathematik sind komplexe Flächen lokal nach $\mathbb {C} ^{2}$ modellierte $4$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel holomorph sind.

Eine projektive analytische Fläche ist eine komplexe Fläche, die in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden kann. Eine komplexe algebraische Fläche ist eine komplexe Fläche, die durch polynomielle Gleichungen in einem komplex-projektiven Raum definiert wird. Nach dem Satz von Chow sind alle projektiven analytischen Flächen algebraisch. Die Hopf-Fläche ist ein Beispiel einer komplexen Fläche, die nicht projektiv analytisch ist.

Kurven auf Flächen

Eine irreduzible Kurve auf einer komplexen Fläche ist eine (evtl. singuläre) geschlossene, komplex $1$-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die nicht als Vereinigung zweier solcher Untermannigfaltigkeiten zerlegt werden kann. Nach dem Satz von Lefschetz über $(1,1)$-Klassen ist eine Kohomologieklasse in $H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ genau dann eine ganzzahlige Linearkombination von Kurven, wenn sie zu $H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ gehört.

Für nichtsinguläre Kurven $C$ gilt die Adjunktionsformel $\chi (C)+C\cdot C=-K_{M}\cdot C$.

Geradenbündel auf Flächen

Jede Klasse in $H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ entspricht einem glatten komplexen Geradenbündel, aber nur Klassen in $H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ sind Chern-Klassen holomorpher Geradenbündel. Wenn $H^{1}(M;\mathbb {Z} )=0$ ist, dann ist die Isomorphieklasse eines holomorphen Geradenbündels durch seine Chern-Klasse festgelegt.

Für einen meromorphen Schnitt $f$ bezeichnen $N(f)$ und $P(f)$ die aus den Null- bzw. Polstellen bestehenden Kurven, dann repräsentiert die Linearkombination $N(f)-P(f)$ die Chern-Klasse des Geradenbündels. Das holomorphe Geradenbündel hat genau dann einen holomorphen Schnitt, wenn die Chern-Klasse eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten aus Kurven in der Fläche ist. Die Dimension des Raums der holomorphen Schnitte lässt mit dem Satz von Riemann-Roch abschätzen.

Für das kanonische Bündel einer komplexen Fläche folgt aus dem Signatursatz von Hirzebruch $K_{M}\cdot K_{M}=3sign(M)+2\chi (M)$.

Ein Geradenbündel $L$ heißt nef („numerically eventually free“), wenn $L\cdot C\geq 0$ für alle Kurven $C$ gilt.

Enriques-Kodaira-Klassifikation

Sei $M$ eine einfach zusammenhängende komplexe Fläche. Dann gibt es eine Folge von Blow-Downs $M\to M_{1}\to \ldots \to M_{n}$ so dass entweder

• $K_{M_{n}}$ ist nef (in diesem Fall heißt $M_{n}$ das minimale Modell von $M$), oder
• $M_{n}$ ist ein $\mathbb {C} P^{1}$-Bündel über $\mathbb {C} P^{1}$ (in diesem Fall ist $M_{n}$ eine Regelfläche), oder
• $M_{n}=\mathbb {C} P^{2}$ (in diesem Fall ist $M$ eine rationale Fläche).

Für die minimalen Modelle, also für einfach zusammenhängende komplexe Flächen, deren kanonisches Bündel nef ist, hat man:

• wenn $K_{M}\cdot C=0$ für jede Kurve $C$ gilt, dann ist $M$ eine K3-Fläche,
• wenn es eine Kurve mit $K_{M}\cdot C>0$ und $K_{M}\cdot K_{M}=0$ gibt, dann ist $M$ eine elliptische Fläche,
• andernfalls heißt $M$ Fläche allgemeinen Typs.

Literatur

• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2005, ISBN 0-8218-3749-4/hbk