Funktionenkörper

(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische Definition

Es sei $k$ ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper $K/k$ von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von $k$ in $K$ heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische Definition

Ist $X$ ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper $k$, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von $X$. Er ist ein Funktionenkörper über $k$ im algebraischen Sinne.

Beispiel

Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.