Euler-Theorem

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Das Euler-Theorem (manchmal auch Eulersche Identität[1] oder Satz von Euler über homogene Funktionen) ist ein Satz aus der Analysis, der den Zusammenhang einer (total) differenzierbaren und (positiv) homogenen Funktion mit ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung in der Volkswirtschaftslehre, insbesondere in der Mikroökonomie.[2] Dort ist es auch unter den Namen Wicksteed-Euler-Theorem oder Ausschöpfungstheorem bekannt.

Geschichte

Der Satz ist nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem wurde in die Wirtschaftswissenschaften durch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem in seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination of the Laws of Distribution.

Aussage

Sei die Funktion (total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad . Letzteres bedeutet für alle und . Dann gilt für alle :[1]

Herleitung

Betrachte die Funktion . Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt

,

wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von folgt.

Anwendung in der Volkswirtschaftslehre

Sei die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass (positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:

Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor im Marktgleichgewicht gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle , dass die Faktorentlohnung des -ten Produktionsfaktors entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion für die Entlohnung der Produktionsfaktoren, , aufgewendet wird.

Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion , wobei und hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen. ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da für alle gilt. Laut Eulers Theorem folgt:

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. a b Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3, Kapitel 2.8, Aufgabe 4.
  2. Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry R. Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York 1995, ISBN 978-0-19-510268-0, S. 929.