Basmajian-Identität

In der Mathematik ist die Basmajian-Identität eine Formel der hyperbolischen Geometrie, die das Volumen des Randes einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit in Beziehung zu ihrem Orthospektrum setzt.

Datei:Orthogeodesics.JPG

Zwei zum Rand einer hyperbolischen Fläche orthogonale Geodäten.

Formel

Sei $M$ eine kompakte n-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit nichtleerem totalgeodätischem Rand und $O_{M}$ die Menge ihrer zum Rand orthogonalen Geodäten, dann gilt

$\operatorname {Vol} (\partial M)=\sum _{\gamma \in O_{M}}V_{n-1}\left(\log \left(\coth \left({\frac {1}{2}}l(\gamma )\right)\right)\right)$,

wobei $l(\gamma )$ die Länge von $\gamma$ und $V_{n-1}(r)$ das Volumen eines Balles vom Radius $r$ im n-1-dimensionalen hyperbolischen Raum bezeichnet.

Literatur

• Ara Basmajian: The orthogonal spectrum of a hyperbolic manifold. In: American Journal of Mathematics, 115 (1993), no. 5, 1139–1159. pdf
• Danny Calegari: Chimneys, leopard spots and the identities of Basmajian and Bridgeman. In: Algebraic & Geometric Topology, 10 (2010), no. 3, 1857–1863. pdf
• Nicholas Vlamis: Moments of the length function on the boundary of a hyperbolic manifold. pdf

Weblinks

• Martin Bridgeman, Ser Peow Tan: Identities on hyperbolic manifolds
• Igor Rivin: On Basmajian's identities, and other related stories