Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite $f$ einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.

Grundlagen

Aufbau und Bezeichnungen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position $P_{1}$ ist das Bild vergrößert, in der Position $P_{2}$ ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand $a$ des Gegenstand zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite $f$ zuzüglich der Distanz ${\overline {HH'}}$ der beiden Hauptebenen der Linse:

$a>4f+{\overline {HH'}}$

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände $x_{1}$ und $x_{2}$ von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand $e$ der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

$f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}$  für dünne Linsen,

$f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}}$  für dicke Linsen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von ${\overline {HH'}}$ zu groß, abhängig von $a$.

Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung

Dünne Linsen

Bezeichnungen an der dünnen Linse

1. Herleitung:
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:

$b+g=a$,

wobei $b$ die Bildweite und $g$ die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

$e=a-2b$

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand $e$ der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}}$

und Einsetzen von $g=a-b$ sowie

$b={\frac {a-e}{2}}$

erhält man

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{\frac {a-e}{2}}}+{\frac {1}{a-{\frac {a-e}{2}}}}={\frac {2}{a-e}}+{\frac {2}{a+e}}={\frac {4a}{a^{2}-e^{2}}}$.

Die Umformung ergibt

$f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}$.

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}}$

und Einsetzen von $b=a-g$ (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für $g$:

${\frac {1}{f}}={\frac {a}{ag-g^{2}}}$.

Wird diese quadratische Gleichung nach $g$ auf gelöst, erhält man

$e=\Delta g={\sqrt {a^{2}-4af}}$.

wobei $e$ als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten $g$ definiert ist. Die Umformung ergibt

$f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}$ .

Dicke Linsen

Der Abstand der Hauptebenen ${\overline {HH'}}$ ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

$a=g+b+{\overline {HH'}}$ und

$e=(a-{\overline {HH'}})-2b$ .

Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel

$f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}}$ .

Literatur

• Eugene Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0