Anormal-komplexe Zahl

Die anormal-komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen $\mathbb {R}$, die sich von der der komplexen Zahlen dadurch unterscheidet, dass das Produkt ihrer nicht-reellen Einheit mit sich selbst nicht gleich −1, sondern gleich +1 ist.

Definition

Die anormal-komplexen Zahlen (englisch split-complex numbers oder hyperbolic numbers; zur Begründung siehe weiter unten) bilden eine zweidimensionale hyperkomplexe Algebra über dem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} der reellen Zahlen. Wie die Algebra der komplexen Zahlen wird diese Algebra von zwei Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} der komplexen Zahlen hier mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} bezeichnet wird. Jede anormal-komplexe Zahl lässt sich demnach eindeutig als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = a + b \cdot j}

mit $a,b\in \mathbb {R}$ darstellen, also als Linearkombination aus 1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} . Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für anormal-komplexe Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch

$j^{2}=1,$ also $(1+j)(1-j)=0,$

wobei natürlich ${\textstyle j\neq \pm 1}$ zu beachten ist. Außerdem ist analog zu den komplexen Zahlen die zu $z=a+b\cdot j$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b \in \R} konjugierte Zahl

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{z} := a-b\cdot j}

definiert.

Eigenschaften

Wie alle hyperkomplexen Algebren erfüllen auch die anormal-komplexen Zahlen das rechts- und linksseitige Distributivgesetz. Wie die komplexen Zahlen sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j:}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\cdot j=j\cdot 1=j}

$1\cdot (1\cdot j)=1\cdot j=(1\cdot 1)\cdot j=j$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\cdot (j\cdot j)=1\cdot 1=1=j\cdot j=(1\cdot j)\cdot j}

Die anormal-komplexen Zahlen bilden also einen kommutativen Ring mit Einselement, der aber – im Unterschied zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex}  – kein Körper ist, sondern ein Hauptidealring mit zwei nichttrivialen Idealen, den reellzahligen Vielfachen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1+j} und denen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-j} , anschaulich also den durch den Ursprung verlaufenden Diagonalen der Zahlenebene. Hauptideale sind sie, da sie jeweils von einem einzigen Element erzeugt werden. Sie sind beide Nullteiler, denn 0 ergibt sich als Produkt eines beliebigen Elementes des einen Ideals mit einem beliebigen Element des anderen:

$a(1+j)\cdot b(1-j)=ab(1^{2}-j^{2})=ab(1-1)=ab\cdot 0$

Eine Norm oder ein Betrag ist für anormal-komplexe Zahlen nicht definiert, aber dennoch gibt es zwei Eigenschaften, die sich so bei der Multiplikation „weitervererben“ wie die Norm bei komplexen Zahlen oder die Determinante bei Matrizen (im Sinne von „Norm/Determinante des Produktes gleich Produkt der Normen/Determinanten der Faktoren“):

1. Die Summe aus Real- und Nichtrealteil (weil sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} bei Multiplikation wie 1 verhält)
2. Das Produkt einer Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} (wie oben) mit ihrer Konjugierten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \bar{z} = (a+b\cdot j)(a-b\cdot j) = a^2 - b^2 \cdot j^2 = a^2 - b^2,}

was stets eine reelle Zahl ergibt. Diese ist

1. negativ für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |a|<|b|}
2. gleich Null für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |a|=|b|}
3. positiv für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |a|>|b|.}

Wie alle komplexen Zahlen desselben Betrages auf einem Kreis liegen, liegen alle anormal-komplexen Zahlen, deren Produkt mit ihrem Konjugierten einen festen Wert hat, auf einer Hyperbel; deshalb werden sie im Englischen auch „hyperbolic numbers“ genannt. Mithin folgen die anormal-komplexen Zahlen einer Minkowski-Metrik wie Zeit (= Realachse) und Raumrichtung (= Nichtrealachse) in der speziellen Relativitätstheorie. Bei der Beschreibung der klassischen reellen Minkowski-Ebene spielen die anormal-komplexen Zahlen eine analoge Rolle wie die komplexen Zahlen bei der Beschreibung der klassischen reellen Möbiusebene.

Isomorphie zum komponentenweisen Produkt

Stellt man die Elemente als Linearkombination von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u := \frac{1+j}2 \quad\text{und}\quad \bar u = \frac{1-j}2} dar, entkoppeln sich die Komponenten im Produkt, denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^2 = u, \quad u \bar u = \bar u u = 0, \quad \bar u^2 = \bar u} und damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (au + b \bar u)(cu+d\bar u) = acu + bd\bar u} Somit sind die anormal-komplexen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}[j] = \mathbb{R}[u]} isomorph zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R \oplus R}} mit dem komponentenweisen Produkt.

Siehe auch

• Duale Zahl

Literatur

• I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. B.G. Teubner, Leipzig 1978.
• Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Geometrien von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in einheitlicher und grundlagengeometrischer Behandlung. Springer, 1973, ISBN 9783642886706, S. 43–47.