Bonferroni-Korrektur

Die Bonferroni-Korrektur oder Bonferroni-Methode (nach Carlo Emilio Bonferroni) ist ein Verfahren der mathematischen Statistik, mit dessen Hilfe die Alphafehler-Kumulierung bei multiplen Vergleichen neutralisiert wird.

Sie besagt: Wenn man $n$ unabhängige Hypothesen an einem Datensatz testet, ist die statistische Signifikanz, die für jede Hypothese getrennt benutzt werden soll, das ${\tfrac {1}{n}}$-fache der Signifikanz, die sich beim Test nur einer Hypothese ergeben würde.

Beispiel

Gegeben sei ein Experiment, in dem nach Genexpressions-Unterschieden zwischen gesunden Zellen und Krebszellen gesucht wird. Es wurden 10.000 Gene getestet. Die Anzahl an Tests wird in diesem Beispiel mit n bezeichnet. Verwendet man das übliche Signifikanzniveau (p < 0,05), erhält man 587 signifikant unterschiedliche Gene. Durch Fehler durch multiples Testen werden sehr viele dieser Gene in der Realität aber nicht unterschiedlich sein.

Die Bonferroni-Korrektur ergibt stattdessen als adjustiertes Signifikanzniveau ${p}^{*}<{\frac {\alpha }{n}}$. In dem oben genannten Beispiel also ${p}^{*}<{\frac {0,05}{10\,000}}$ (entspricht ${p}^{*}<0{,}000005$). Als alternative Vorgehensweise kann man auch die p-Werte mit der Anzahl der Tests n adjustieren: adjustiertes $p_{i}^{*}=p_{i}*n$.

Den adjustierten Signifikanzwert ${p}^{*}$ (oder die adjustierten p-Werte $p_{i}^{*}$) vergleicht man mit seinem Signifikanzniveau und erhält z. B. nur noch 6 signifikante Gene. Dies schließt sehr viele falsch-positive Resultate aus. Die verbleibenden Resultate sind also zuverlässiger, gleichzeitig wurden jedoch auch viele real unterschiedliche Gene ausgeschlossen. Die Bonferroni-Korrektur ist also konservativer als beispielsweise die Korrektur der False Discovery Rate (FDR) nach Benjamini-Hochberg.

Hintergrund

Untersucht man eine Hypothesenfamilie mit $m\geq 2$ paarweisen Vergleichen und prüft jede zugehörige Einzelhypothese zum Signifikanzniveau $\mathbf {\alpha } '$, dann besteht zwischen dem Risiko des Einzeltests $\mathbf {\alpha } '$ und dem multiplen Gesamtrisiko $\mathbf {\alpha }$ (auch als $\mathbf {\alpha } _{exp}$ bezeichnet) die folgende Ungleichung:

$\mathbf {\alpha } '\leq \mathbf {\alpha } \leq m\cdot \mathbf {\alpha } '.$

Diese Beziehung folgt aus der Bonferroni-Ungleichung (Boolesche Ungleichung) und besagt, dass das multiple Gesamtrisiko nach oben begrenzt ist. Wählt man als Signifikanzniveau für jeden Einzeltest $\mathbf {\alpha } '=\mathbf {\alpha } /m$, dann kann das multiple Gesamtrisiko nicht größer als $\mathbf {\alpha }$ sein.

Um also das multiple Gesamtrisiko $\mathbf {\alpha }$ einzuhalten, muss man in jedem Einzeltest das Signifikanzniveau $\mathbf {\alpha } '$ entsprechend anpassen. Die Bonferroni-Methode ist eine sehr grobe Näherung und sehr konservativ. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den $\alpha$-Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung).

Bonferroni in der Signalverarbeitung

Es liegt eine Voxel-Karte mit vielen statistischen Werten vor, bei denen einige unabhängig, andere wiederum abhängig voneinander sind. Um besondere Merkmale dieser Verteilung herauszufinden, kann die Bonferroni-Korrektur angewendet werden. Diese trifft aber nur für unabhängige Tests zu und ist für nur teilweise abhängige Tests zu streng. Daher wird sie beim Auffinden einer Signifikanz-Schranke (p-Wert oder Signifikanzniveau) in solch einer statistischen Karte, deren Werte nur teilweise abhängig, bzw. unabhängig sind, oft mit der Gaussfeld-Methode gemischt. Für einen Voxel wird dabei der niedrigere p-Wert der beiden Korrekturverfahren angegeben und so die Schranke bestimmt.

Literatur

• Abdi, H: Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons. In: N.J. Salkind (ed.) (Hrsg.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Sage, Thousand Oaks, CA 2007.

Weblinks

• Manitoba Centre for Health Policy (MCHP) 2003, Concept: Multiple Comparisons.
• Perneger, Thomas V, What's wrong with Bonferroni adjustments, BMJ 1998;316:1236-1238 (18. April).
• School of Psychology, University of New England, New South Wales, Australia, 2000.
• Eric W. Weisstein: Bonferroni Correction. In: MathWorld (englisch).