Paralleladdierer mit Übertragsvorausberechnung

4-Bit-Carry-Look-Ahead-Addierer mit Carry-In und Carry-Out

Der Paralleladdierer mit Übertragsvorausberechnung bzw. Carry-Look-Ahead-Addierer (kurz: CLA-Addierer) ist eine logische Schaltung zur Addition mehrstelliger Binärzahlen (siehe auch Addierwerk).

Der CLA-Addierer addiert zwei n-stellige Binärzahlen, verfügt also über 2·n Eingänge, sowie in der Regel über einen weiteren Übertragseingang. Da das Ergebnis einen etwaigen Übertrag enthalten kann, gibt es n+1 Ausgänge. Der Vorteil des CLA-Addierers ist, dass die Verzögerung der Schaltung nur logarithmisch zur Zahl seiner Eingänge ist, bei zugleich nur linearer Zahl an Logikgattern gemessen an der Zahl seiner Eingänge. Seine Komplexität beträgt in der Landau-Notation ausgedrückt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(\log (n)) } für die Schaltungsverzögerung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{O}(n) } für die Schaltungsgröße. Der CLA-Addierer ist also ähnlich schnell wie ein Conditional-Sum-Addierer, dessen Verzögerung ebenfalls ${\mathcal {O}}(\log(n))$ beträgt, und braucht zugleich ähnlich einem Carry-Ripple-Addierer nur ${\mathcal {O}}(n)$ wenige Bauteile. Conditional-Sum-Addierer brauchen im Vergleich mit dem CLA-Addierer jedoch ${\mathcal {O}}(n^{\log _{2}(3)})$ mehr Bauteile, Carry-Ripple-Addierer weisen eine exponentiell größere Verzögerung von ${\mathcal {O}}(n)$ auf. Der CLA-Addierer ist dagegen asymptotisch schnell und günstig zugleich.

Idee

Ein Addierwerk kann einen Großteil seiner Berechnungen auch dann durchführen, wenn der eingehende Übertrag noch nicht vorliegt. Dazu werden die beiden Summanden zunächst ohne Berücksichtigung desselben addiert. Am Ergebnis kann dann direkt abgelesen werden, welche Wirkung der eingehende Übertrag auf den ausgehenden haben wird. Die Tabelle stellt den Zusammenhang am Beispiel eines 4-Bit Addierers dar.

Zusammenhang zwischen ein- und ausgehenden Überträgen eines 4-Bit Addierwerks

Summe ohne Berücksichtigung des eingehenden Übertrags	eingehender	ausgehender	Bemerkung
	Übertrag
00000 bis 01110	beliebig	0	Der eingehende Übertrag wird absorbiert.
01111	0	0	Der eingehende Übertrag wird unverändert propagiert.
	1	1
10000 bis 11110	beliebig	1	Ein Übertrag wird immer generiert.

Jedes Addierwerk zeigt an einem speziellen Ausgang an, ob es den eingehenden Übertrag absorbieren, propagieren oder einen solchen generieren wird. Dieser spezielle Ausgang ersetzt den Übertragsausgang eines gewöhnlichen Addierwerks. Der tatsächliche Übertrag kann dann aus dieser Information und dem eingehenden Übertrag leicht berechnet werden. Der große Vorteil dieses speziellen Ausgangs ist, dass er mit wenigen Logikgattern hierarchisch zusammengefasst werden kann, ohne dass die Summe erneut berechnet oder der tatsächliche Übertrag bekannt sein muss, wie nachfolgende Tabelle zeigt.

Zusammenfassung zweier Addierwerke zu einem breiteren Addierwerk

höherwertiges Addierwerk	niederwertiges Addierwerk	zusammengefasstes Addierwerk
absorbiert	beliebig	absorbiert
generiert	beliebig	generiert
propagiert	absorbiert	absorbiert
	generiert	generiert
	propagiert	propagiert

Funktionsweise

Der CLA-Addierer ist eine spezielle Anwendung einer Parallelen Präfix Berechnung $\operatorname {PP} _{n}^{\circ }$ welche sich durch eine Schaltung mit Kosten ${\mathcal {O}}(n)$ und Verzögerung ${\mathcal {O}}(\log(n))$ implementieren lässt. Um die raffinierte Anwendung der Parallelen Präfix Berechnung leichter verständlich zu machen, wird zunächst ihre Anwendung am Beispiel eines schnellen Inkrementers dargelegt.

Schneller Inkrementer nach CLA-Art

Ein Inkrementer $\operatorname {Inc} _{n}$ addiert zu einer $n$-stelligen Binärzahl den Wert $1$ und hat $n$ Eingänge sowie $n$ Ausgänge und einen weiteren Ausgang für einen etwaigen Übertrag beim höchsten Stellenwert.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {Inc} _{n}\colon \{0,1\}^{n}\to \{0,1\}^{n+1}}

$\operatorname {Inc} _{n}(x_{n-1}\ldots x_{0})=(y_{n}\ldots y_{0})$

Ein Übertrag von Stelle $i$ zu $i+1$ tritt dabei nur dann auf, wenn alle $x_{0}=\ldots =x_{i}=1$ sind, d. h. wenn die $x_{0}\ldots x_{i}$ den Übertrag propagieren. Daher gilt beim Inkrementer für jedes Ergebnisbit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{i+1}=1} genau dann, wenn entweder $x_{0}\ldots x_{i}$ propagieren oder $x_{i+1}=1$ für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 0\leq i<n} .

Mittels einer Parallelen Präfix Berechnung $\operatorname {PP} _{n}^{\wedge }$ kann man für alle $i$ die Funktionen „$x_{0}\ldots x_{i}$ propagieren“ $=x_{0}\wedge x_{1}\wedge \ldots \wedge x_{i}$ zugleich berechnen, indem man ausnutzt, dass die logische UND Funktion $\wedge$ eine assoziative zweistellige Verknüpfung auf den binären Zahlen ist.

Parallele Präfix Berechnung

Zu jeder assoziativen zweistelligen Verknüpfung ${\circ }\colon A\times A\to A$ auf einer Menge $A$ ist ihre $n$-stellige Parallele Präfix Funktion $\operatorname {PP} _{n}^{\circ }$ wie folgt definiert:

$\operatorname {PP} _{n}^{\circ }\colon A^{n}\to A^{n}$

$\operatorname {PP} _{n}^{\circ }(x_{n-1}\ldots x_{0})=(y_{n-1}\ldots y_{0})$ mit $y_{i}=x_{i}\circ \ldots \circ x_{0}$ für $0\leq i<n$

Als Schaltung lässt sich $\operatorname {PP} _{2n}^{\circ }$ rekursiv aus $\operatorname {PP} _{n}^{\circ }$ konstruieren:

$\operatorname {PP} _{1}^{\circ }(x_{0})=(y_{0})=(x_{0})$

Für $\operatorname {PP} _{2n}^{\circ }(x_{2n-1},\ldots ,x_{0})=(y_{2n-1},\ldots ,y_{0})$ sei $(y'_{n-1},\ldots ,y'_{0})=\operatorname {PP} _{n}^{\circ }(x_{2n-1}\circ x_{2n-2},\ldots ,x_{1}\circ x_{0})$ dann gilt:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{2i+1}=y'_{i}} für $0\leq i<n$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{2i} = y'_{i-1}\circ x_{2i} } für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0< i<n }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_{0} = x_0 }

Beispiel: für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2} gilt folglich $\operatorname {PP} _{2}^{\circ }(x_{1},x_{0})=(y_{1},y_{0})=(x_{1}\circ x_{0},x_{0})$

CLA-Addierer

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0\ldots a_{n-1}} und $b_{0}\ldots b_{n-1}$ die Ziffern der beiden zu addierenden Zahlen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{-1}} der Eingangsübertrag. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} bezeichnet man das Übertragsbit von Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} zu Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i+1} . Dann gilt für das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te zu berechnende Summenbit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_i = a_i} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \oplus} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i \oplus c_{i-1}} . Sofern alle Übertragsbits Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} bekannt sind, lassen sich die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_i} parallel berechnen, mit konstanter Schaltungsverzögerung und linearen Bauteilkosten.

Um die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} zu berechnen, reicht es nicht wie beim Inkrementer allein zu prüfen, ob der Eingangsübertrag propagiert wird. Denn ein Übertrag wird an der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Stelle propagiert, wenn entweder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i=1} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i=1} sind, weiterhin wird ein Übertrag generiert, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i=b_i=1} .

Man schreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i = p_i(a,b)} falls die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te Stelle einen Übertrag propagiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i = a_i \oplus b_i} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\leq i<n }

Weiter schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{i+1} = g_{i+1}(a,b)} falls die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te Stelle einen Übertrag generiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_i = a_i \wedge b_i} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\leq i<n }

Sowohl Propagieren als auch Generieren lassen sich ohne Kenntnis der Überträge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_j, j\leq i} berechnen!

Um alle Überträge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\leq i<n} zugleich effizient zu berechnen, definiert man eine assoziative Verknüpfung (Beweis Assoziativität durch Nachrechnen) Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \circ \colon \{0,1\}^{2}\times \{0,1\}^{2}\to \{0,1\}^{2}} die man in einer parallelen Präfix-Berechnung einsetzen kann:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (g',p')\circ (c,p)=(g'\vee p'\wedge c,p\wedge p')}

Die beiden Komponenten erklären sich wie folgt. Es ist der Übertrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i=1} , wenn die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te Stelle generiert oder wenn die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te Stelle propagiert und die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i-1} -te Stelle einen Übertrag hat, also wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_i\vee p_i\wedge c_{i-1}} . Aufeinander folgende Stellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,i-1} propagieren gemeinsam einen Übertrag, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i\wedge p_{i-1}=1} ist. Die Verknüpfung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \circ} eignet sich daher, um alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} wie folgt zu berechnen; die Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle d_{i}} sind dabei reine Hilfsvariablen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (c_i,d_i) = (g_i,p_i)\circ \ldots \circ (g_0,p_0) \circ (c_{-1},1)} , oder anders ausgedrückt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ((c_{n-1},d_{n-1}),\ldots,(c_{-1},d_{-1})) = \operatorname{PP}_{n+1}^{\circ}((g_{n-1},p_{n-1}),\ldots,(g_0,p_0),(c_{-1},1))}

Mit den nun vorliegenden Zwischenergebnissen lässt sich schließlich die Summe $s$ von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} einfach berechnen. Es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_i = p_i \oplus c_{i-1}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\leq i<n}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_n = c_{n-1}}

Literatur

• Jörg Keller, Wolfgang J. Paul: Hardware Design. Formaler Entwurf digitaler Schaltungen Teubner 1995/2005, ISBN 3-519-23047-X.

Weblinks

• Ausführliche Darstellung bei der Hochschule Flensburg