Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen $2^{3}=8$ und $3^{2}=9$ keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung $x^{p}-y^{q}=1$  mit $x,p,y,q>1$  lautet $x=3$, $p=2$, $y=2$ und $q=3$.

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:

Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für $a^{2}-b^{3}=1$ nur die Lösung $a=3$ und $b=2$ gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.

Später fand man einige Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So bewies 1976 Robert Tijdeman den Satz von Tijdeman, demzufolge höchstens endlich viele ganzzahlige Lösungen der catalanschen Gleichung existieren können.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder $p$ und $q$ erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder $p$ und $q$ sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

$p^{q-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ q^{2}$  und  $q^{\;\!p-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ p^{2}$

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen $q$ und $p$ an: $q<7{,}15\cdot 10^{11},\ p<7{,}78\cdot 10^{16}$.

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung

$x^{p}-y^{q}=n$  mit natürlichen $x,y>0,\ p,q,n>1$

betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für alle $x,y>0,\ p,q,n>1$ nur endlich viele Lösungen hat, dass es also für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} ^{+}$ nur endlich viele Paare von ganzzahligen Potenzen gibt, deren Differenz $n$ ist.

Die folgende Liste gibt bis $n\leq 67$ alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei $x^{p},y^{q}<2^{64}\approx 1{,}84\cdot 10^{19}$ ist. Der größte dabei auftretende Wert für $y^{q}$ ist $\ 542\,939\,080\,312\;(\approx 5{,}43\cdot 10^{11})$ in $736844^{2}-8158^{3}=24$, im Bereich von $5{,}43\cdot 10^{11}$ bis $2^{64}\!-\!1\approx 1{,}84\cdot 10^{19}$ sind für $n\leq 206$ keine weiteren Lösungen zu finden.

Liste aller Lösungen der Gleichung $x^{p}-y^{q}=n$ für $1\leq n\leq 67$ und $n=100$, mit $x^{p},y^{q}\leq 2^{64}$, $p\geq 2$, $q\geq 2$ oder $q=0$

n Anzahl der Lösungen (Folge A076427 in OEIS) Zahlen $k$, sodass $k+n$ und $k$ beides Potenzen sind (Folge A103953 in OEIS) $x^{p}-y^{q}=n$ 1 1 8 $3^{2}-2^{3}=1$ 2 1 25 $3^{3}-5^{2}=2$ 3 2 1, 125 $2^{2}-1^{q}=3$ $2^{7}-5^{3}=3$ 4 3 4, 32, 121 $2^{3}-2^{2}=4$ $6^{2}-2^{5}=4$ $5^{3}-11^{2}=4$ 5 2 4, 27 $3^{2}-2^{2}=5$ $2^{5}-3^{3}=5$ 6 0 es existiert keine Lösung 7 5 1, 9, 25, 121, 32761 $2^{3}-1^{q}=7$ $4^{2}-3^{2}=7$ $2^{5}-5^{2}=7$ $2^{7}-11^{2}=7$ $32^{3}-181^{2}=7$ 8 3 1, 8, 97336 $3^{2}-1^{q}=8$ $2^{4}-2^{3}=8$ $312^{2}-46^{3}=8$ 9 4 16, 27, 216, 64000 $5^{2}-2^{4}=9$ $6^{2}-3^{3}=9$ $15^{2}-6^{3}=9$ $253^{2}-40^{3}=9$ 10 1 2187 $13^{3}-3^{7}=10$ 11 4 16, 25, 3125, 3364 $3^{3}-2^{4}=11$ $6^{2}-5^{2}=11$ $56^{2}-5^{5}=11$ $15^{3}-58^{2}=11$ 12 2 4, 2197 $2^{4}-2^{2}=12$ $47^{2}-13^{3}=12$ 13 3 36, 243, 4900 $7^{2}-6^{2}=13$ $2^{8}-3^{5}=13$ $17^{3}-70^{2}=13$ 14 0 es existiert keine Lösung 15 3 1, 49, 1295029 $2^{4}-1^{q}=15$ $2^{6}-7^{2}=15$ $1138^{2}-109^{3}=15$ 16 3 9, 16, 128 $5^{2}-3^{2}=16$ $2^{5}-2^{4}=16$ $12^{2}-2^{7}=16$ 17 7 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 $5^{2}-2^{3}=17$ $7^{2}-2^{5}=17$ $3^{4}-2^{6}=17$ $23^{2}-2^{9}=17$ $282^{2}-43^{3}=17$ $375^{2}-52^{3}=17$ $378661^{2}-5234^{3}=17$ 18 3 9, 225, 343 $3^{3}-3^{2}=18$ $3^{5}-15^{2}=18$ $19^{2}-7^{3}=18$ 19 5 8, 81, 125, 324, 503284356 $3^{3}-2^{3}=19$ $10^{2}-3^{4}=19$ $12^{2}-5^{3}=19$ $7^{3}-18^{2}=19$ $55^{5}-22434^{2}=19$ 20 2 16, 196 $6^{2}-2^{4}=20$ $6^{3}-14^{2}=20$ 21 2 4, 100 $5^{2}-2^{2}=21$ $11^{2}-10^{2}=21$ 22 2 27, 2187 $7^{2}-3^{3}=22$ $47^{2}-3^{7}=22$ 23 4 4, 9, 121, 2025 $3^{3}-2^{2}=23$ $2^{5}-3^{2}=23$ $12^{2}-11^{2}=23$ $2^{11}-45^{2}=23$ 24 5 1, 8, 25, 1000, 542939080312 $5^{2}-1^{q}=24$ $2^{5}-2^{3}=24$ $7^{2}-5^{2}=24$ $2^{10}-10^{3}=24$ $736844^{2}-8158^{3}=24$ 25 2 100, 144 $5^{3}-10^{2}=25$ $13^{2}-12^{2}=25$ 26 3 1, 42849, 6436343 $3^{3}-1^{q}=26$ $35^{3}-207^{2}=26$ $2537^{2}-23^{5}=26$ 27 3 9, 169, 216 $6^{2}-3^{2}=27$ $14^{2}-13^{2}=27$ $3^{5}-6^{3}=27$ 28 7 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 $2^{5}-2^{2}=28$ $6^{2}-2^{3}=28$ $2^{6}-6^{2}=28$ $2^{7}-10^{2}=28$ $2^{9}-22^{2}=28$ $37^{3}-225^{2}=28$ $2^{17}-362^{2}=28$ 29 1 196 $15^{2}-14^{2}=29$ 30 1 6859 $83^{2}-19^{3}=30$ 31 2 1, 225 $2^{5}-1^{q}=31$ $16^{2}-15^{2}=31$ 32 4 4, 32, 49, 7744 $6^{2}-2^{2}=32$ $2^{6}-2^{5}=32$ $3^{4}-7^{2}=32$ $6^{5}-88^{2}=32$

n Anzahl der Lösungen (Folge A076427 in OEIS) Zahlen $k$, sodass $k+n$ und $k$ beides Potenzen sind (Folge A103953 in OEIS) $x^{p}-y^{q}=n$ 33 2 16, 256 $7^{2}-2^{4}=33$ $17^{2}-2^{8}=33$ 34 0 es existiert keine Lösung 35 3 1, 289, 1296 $6^{2}-1^{q}=35$ $18^{2}-17^{2}=35$ $11^{3}-36^{2}=35$ 36 2 64, 1728 $10^{2}-2^{6}=36$ $42^{2}-12^{3}=36$ 37 3 27, 324, 14348907 $2^{6}-3^{3}=37$ $19^{2}-18^{2}=37$ $3788^{2}-243^{3}=37$ 38 1 1331 $37^{2}-11^{3}=38$ 39 4 25, 361, 961, 10609 $2^{6}-5^{2}=39$ $20^{2}-19^{2}=39$ $10^{3}-31^{2}=39$ $22^{3}-103^{2}=39$ 40 4 9, 81, 216, 2704 $7^{2}-3^{2}=40$ $11^{2}-3^{4}=40$ $2^{8}-6^{3}=40$ $14^{3}-52^{2}=40$ 41 3 8, 128, 400 $7^{2}-2^{3}=41$ $13^{2}-2^{7}=41$ $21^{2}-20^{2}=41$ 42 0 es existiert keine Lösung 43 1 441 $22^{2}-21^{2}=43$ 44 3 81, 100, 125 $5^{3}-3^{4}=44$ $12^{2}-10^{2}=44$ $13^{2}-5^{3}=44$ 45 4 4, 36, 484, 9216 $7^{2}-2^{2}=45$ $9^{2}-6^{2}=45$ $23^{2}-22^{2}=45$ $21^{3}-96^{2}=45$ 46 1 243 $17^{2}-3^{5}=46$ 47 6 81, 169, 196, 529, 1681, 250000 $2^{7}-3^{4}=47$ $6^{3}-13^{2}=47$ $3^{5}-14^{2}=47$ $24^{2}-23^{2}=47$ $12^{3}-41^{2}=47$ $63^{3}-500^{2}=47$ 48 4 1, 16, 121, 21904 $7^{2}-2^{0}=48$ $2^{6}-2^{4}=48$ $13^{2}-11^{2}=48$ $28^{3}-148^{2}=48$ 49 3 32, 576, 274576 $3^{4}-2^{5}=49$ $25^{2}-24^{2}=49$ $65^{3}-524^{2}=49$ 50 0 es existiert keine Lösung 51 2 49, 625 $10^{2}-7^{2}=51$ $26^{2}-5^{4}=51$ 52 1 144 $14^{2}-12^{2}=52$ 53 2 676, 24336 $27^{2}-26^{2}=53$ $29^{3}-156^{2}=53$ 54 2 27, 289 $3^{4}-3^{3}=54$ $7^{3}-17^{2}=54$ 55 3 9, 729, 175561 $2^{6}-3^{2}=55$ $28^{2}-27^{2}=55$ $56^{3}-419^{2}=55$ 56 4 8, 25, 169, 5776 $2^{6}-2^{3}=56$ $3^{4}-5^{2}=56$ $15^{2}-13^{2}=56$ $18^{3}-76^{2}=56$ 57 3 64, 343, 784 $11^{2}-2^{6}=57$ $20^{2}-7^{3}=57$ $29^{2}-28^{2}=57$ 58 0 es existiert keine Lösung 59 1 841 $30^{2}-29^{2}=59$ 60 4 4, 196, 2515396, 2535525316 $2^{6}-2^{2}=60$ $2^{8}-14^{2}=60$ $136^{3}-1586^{2}=60$ $76^{5}-50354^{2}=60$ 61 2 64, 900 $5^{3}-2^{6}=61$ $31^{2}-30^{2}=61$ 62 0 es existiert keine Lösung 63 4 1, 81, 961, 183250369 $2^{6}-1^{q}=63$ $12^{2}-9^{2}=63$ $2^{10}-31^{2}=63$ $568^{3}-13537^{2}=63$ 64 4 36, 64, 225, 512 $10^{2}-6^{2}=64$ $2^{7}-2^{6}=64$ $17^{2}-15^{2}=64$ $24^{2}-2^{9}=64$ 65 4 16, 1024, 2744, 199176704 $3^{4}-2^{4}=65$ $33^{2}-2^{10}=65$ $53^{2}-14^{3}=65$ $14113^{2}-584^{3}=65$ 66 0 es existiert keine Lösung 67 2 1089, 12100 $34^{2}-33^{2}=67$ $23^{3}-110^{2}=67$ ... 100 10 25, 125, 243, 576, 900, 3025, 8000, 13824, 39204, 18821096000 $5^{3}-5^{2}=100$ $15^{2}-5^{3}=100$ $7^{3}-3^{5}=100$ $26^{2}-24^{2}=100$ $10^{3}-30^{2}=100$ $5^{5}-55^{2}=100$ $90^{2}-20^{3}=100$ $118^{2}-24^{3}=100$ $34^{3}-198^{2}=100$ $137190^{2}-2660^{3}=100$

Siehe auch

• Pillai-Vermutung

Literatur

• Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167--195
• Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67
• Yuri Bilu: Catalan´s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr. 909, 2002, (PDF).
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan´s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
• Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan Vermutung, französisch (Arxiv).
• Henri Cohen zum Beweis der Catalan Vermutung, französisch (Online).

Weblinks

• Eric Weisstein: Catalan's Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• https://www.welt.de/print-wams/article604626/Geniestreich-eines-spaet-Berufenen.html