Typ-III-Von-Neumann-Algebra
Typ-III-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich nach einem Satz von M. Takesaki aus Typ-II-Von-Neumann-Algebren konstruieren.
Definitionen
Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element , das heißt, es gilt . Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus und stets folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.[1]
Beispiele
Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.
Satz von Takesaki
Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II∞-Algebren zurück:
Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra gibt es W*-dynamisches System , wobei eine Typ-II∞-Algebra ist, so dass .[2]
Dazu verwendet man das W*-dynamische System , das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II∞-Algebra . Mit dem dualen W*-dynamischen System folgt dann
Connes-Klassifikation von Typ-III-Faktoren
Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum , konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl , die dann zum Begriff des Typ-IIIλ-Faktors führt.
Sei ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra . Dann gibt es eine kleinste Projektion mit . Dann ist eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator . Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum in . Man definiert
- .
Man kann zeigen, dass 0 genau dann in liegt, wenn vom Typ III ist, anderenfalls gilt .[4] Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:[5]
- für ein
Im ersten Fall nennt man einen Typ-III0-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-IIIλ-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III1-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.
Sind verschieden, so ist ein Typ-IIIλ-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-IIIµ-Faktor, denn die Menge ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.
Wir wollen kurz die Existenz der Typ-IIIλ-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand auf der CAR-Algebra. Zu einem kann man rekursiv Zustände definieren, wobei
- die identische Abbildung sei und
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_\mu^{(n)}(x) = \mu \varphi_\mu^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\mu) \varphi_\mu^{(n-1)}(x_{2,2})} für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n>0} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(x_{i,j})} als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\times 2} -Matrix mit Elementen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{2^{n-1}}} geschrieben ist.
Dann ist die Einschränkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_\mu^{(n)}} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{2^{n-1}}} gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_\mu^{(n-1)}} , denn gemäß der Einbettung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{2^{n-1}}\ni x \mapsto \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix} \in M_{2^n}}
ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\varphi_\mu^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x) = \varphi_\mu^{(n)}(\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}) = \mu \varphi_\mu^{(n-1)}(x)+(1-\mu) \varphi_\mu^{(n-1)}(x) = \varphi_\mu^{(n-1)}(x) } .
Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_\mu} , der auf allen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{2^n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_\mu^{(n)}} übereinstimmt. Zum Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_\mu} gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_\mu:A \rightarrow L(H_\mu)} auf einem Hilbertraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_\mu} . Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < \mu < \frac{1}{2}} ist das Bild Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_\mu(A)\subset L(H_\mu)} eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ IIIλ ist, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \lambda = \frac{\mu}{1-\mu}} .[6]
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 6.5.1
- ↑ A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem II.4.8
- ↑ A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Anhang C
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.5
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.7 + 8.15.11
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.13