Càdlàg-Funktion

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym (französisch continue à droite, limite à gauche „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (

right continuous, left limits

). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).

Definition

Verteilungsfunktionen sind Beispiele für Càdlàg-Funktionen

Sei $E$ ein polnischer Raum wie beispielsweise $\mathbb {R} ^{n}$. Eine Funktion

$f\colon [0,\infty )\to E$

heißt

• Càdlàg-Funktion, wenn für alle $x\in [0,\infty )$ die Funktion $f$ in $x$ rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in $x$ existiert und endlich ist.
• Càglàd-Funktion, wenn für alle $x\in [0,\infty )$ die Funktion $f$ in $x$ linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in $x$ existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen $f\colon I\to \mathbb {R} ^{d}$ auf einem Intervall $I=[a,b]$ wird oft mit $D([a,b])$ bezeichnet.

Anwendungen in der Stochastik

Die Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\leq x)$ einer reellen Zufallsvariablen $X$ ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\rightarrow X_t} an jeder Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cadlag Function. In: MathWorld (englisch).