disjunkt

Zwei disjunkte Mengen

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} disjunkt (lateinisch disjunctus (-a, -um) ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Datei:Disjoint sets.svg

Ein disjunktes Mengensystem

Zwei Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

$A\cap B=\emptyset$.

Eine Familie von Mengen $(M_{i})_{i\in I}$ ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset } für $i\neq j$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,j\in I} .

Die Vereinigung $M$ einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i} .

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von $M$ vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

• Die Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \{1, 2, 3\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \{7, 8, 11\}} sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
• Die Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \{1, 2, 7\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \{6, 7, 8, 11\}} sind nicht disjunkt, da sie das Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7} gemeinsam haben.
• Die drei Mengen $A=\{1,2,3\}$, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \{4, 5\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C = \{5, 6, 7\}} sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B \cap C} ) nicht leer ist.
• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots} .
• Zwei verschiedene Geraden $g$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

• 

  Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.

• Example of a pairwise disjoint family of sets.svg

  ein paarweise disjunktes Mengensystem

• ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem

Anwendung

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

1. 0 bis 1000 Euro
2. 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften

• Die leere Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \emptyset} ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{a\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} sind genau dann disjunkt, wenn $a\notin B$.
• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
• Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
• Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt

Siehe auch

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

Weblinks

WiktionaryWiktionary: disjunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme – Lern- und Lehrmaterialien