sl(2,C)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe $SL(2,\mathbb {C} )$. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper $\mathbb {C}$ definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ und die Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$.

Die Gruppe $SL(2,\mathbb {C} )$ spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen $SO_{0}(3,1)$ ist.

Kommutator-Relationen

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum $g=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {C} }$. Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

$[x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y$

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

$x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt

Durch die Definition des Kreuzproduktes in $\mathbb {C} ^{3}$ und der folgenden Vektoren

$x=(1,\mathrm {i} ,0),\quad y=(-1,\mathrm {i} ,0),\quad h=(0,0,2\mathrm {i} )$

ergibt sich die gleiche Algebra:

$x\times y=h,\quad h\times x=2x,\quad h\times y=-2y$

Eigenschaften

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ${\mathfrak {a}}$ ein nichttriviales Ideal in ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ und sei $ax+bh+cy\in {\mathfrak {a}}\setminus 0$ mit $a,b,c\in \mathbb {C}$. Wenn $a=c=0$, dann $h\in {\mathfrak {a}}$, damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x = \left[h,x\right]\in\mathfrak{a}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2y = \left[h,y\right]\in\mathfrak{a}} , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\Complex)} . Also können wir Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\not=0} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\not=0} annehmen, o. B. d. A Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\not=0} . Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[y, \left[y, ax + bh + cy \right]\right] = \left[y, -ah + 2by \right] = -2ay } folgt dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y \in\mathfrak{a}} und damit auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=\left[x,y\right]\in\mathfrak{a}} , also wieder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\Complex)} .

Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)

Killing-Form

Die Killing-Form von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\Complex)} lässt sich explizit durch die Formel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(v,w)=4\,\operatorname{Spur}(vw)}

berechnen, es ist also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.}

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SL(2,\Complex)} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=SU(2)} , ihre Lie-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)} wird von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i(x+y),\ x-y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ih} aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\Complex)} ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta(A)=-\overline{A}^T} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)} ist ihr Eigenraum zum Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} . Man erhält die Cartan-Zerlegung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\Complex)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{p}=\left\{A\in\mathfrak{sl}(2,\Complex):A=\overline{A}^T\right\}} der Eigenraum zum Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\Complex)} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\Complex)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2),\ \mathfrak{a}=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\R\right\},\ \mathfrak{n}=\left\{\begin{pmatrix}0&n\\ 0&0\end{pmatrix}:n\in\Complex\right\}} .

Reelle Formen

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\Complex)} hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{su}(2)} , ihre spaltbare reelle Form ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(2,\R)} .

Cartan-Unteralgebren

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{h}_0=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\Complex\right\}} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{h}_0} ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{h}\subset\mathfrak{sl}(2,\Complex)} ist zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{h}_0} konjugiert, d. h., sie ist von der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{h}=g\mathfrak{h}_0g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in\mathfrak{h}_0\right\}}

für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in SL(2,\Complex)} .

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{h}_0} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=\left\{\alpha_{12}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix},\ \alpha_{21}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right\}} .

Die dualen Wurzeln sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}=2\lambda,\ \alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}=-2\lambda} .

Die zugehörigen Wurzelräume sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\Complex\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix},\ \mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\Complex\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}} .

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} .

Siehe auch

• Darstellungstheorie der sl(2,C)

Weblinks

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}_2} PDF
• Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras PDF