Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante $\lambda$ existiert, so dass

$\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda \,g_{p}(X,Y)$

gilt. Dabei ist $\operatorname {Ric} _{p}$ der (0,2)-Ricci-Tensor und $X,Y\in T_{p}M$ für jedes $p\in M.$ Die pseudo-riemannsche Metrik $g$ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

• Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $n\geq 4$ von eigenständigem Interesse, da sie für $n=2$ und $n=3$ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.

• Sei $n\geq 3.$ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes $p\in M$ eine Konstante $\lambda _{p}$ (in Abhängigkeit von $p\,$) existiert, so dass

$\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\lambda _{p}\,g_{p}(X,Y)$

gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier $\lambda$ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

• Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante $\lambda$ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} .

• Die Definition der Einsteinmetrik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ergibt sich aus der Aussage, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} eine Lösung der einsteinschen Vakuumfeldgleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Ric}_p(X,Y) - \frac{1}{2}\,g_p(X,Y)\,s_p + g_p(X,Y)\,\Lambda = 0 }

mit der kosmologischen Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda} und der Skalarkrümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_p} ist. Durch Spurbildung in der Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)} erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_p = n \lambda,}

dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\,} die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).