Projektivität

Zentralkollineation: Für jeden Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z,P,\pi(P)} kollinear

Eine Projektivität oder projektive Kollineation ist in der Geometrie eine besondere Kollineation einer projektiven Ebene oder eines projektiven Raums. Im einfachsten Fall ist eine Projektivität eine Zentralkollineation oder Perspektivität, d. h., es gibt einen Fixpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} (das Zentrum), und alle Geraden durch $Z$ sind Fixgeraden. Man definiert:

• Eine Projektivität (einer projektiven Ebene bzw. eines projektiven Raums) ist eine Kollineation, die sich durch ein Produkt (Hintereinanderausführung) von endlich vielen Perspektivitäten darstellen lässt. Im allgemeinen Fall gibt es außer den Projektivitäten weitere Kollineationen. In einem reellen projektiven Raum allerdings ist jede Kollineation schon eine Projektivität. Eine nützliche Besonderheit der Projektivitäten ist:
• Die Projektivitäten eines projektiven Raumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P^n(K)} über einem Körper $K$ sind genau die Kollineationen, die sich im homogenen Modell durch lineare Abbildungen (Matrizen) beschreiben lassen.

Damit sind die Werkzeuge der linearen Algebra zur Untersuchung von Projektivitäten anwendbar.

Eine Kollineation, die keine Projektivität ist, gibt es z. B. in der projektiven Ebene ${\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {C} )$ über den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$: Die projektive Fortsetzung der Kollineation $(x,y)\to ({\overline {x}},{\overline {y}})$ der komplexen affinen Ebene ist keine Projektivität. Sie lässt sich im homogenen Modell nur durch eine semilineare Abbildung darstellen.

Eine projektive Kollineation sollte nicht verwechselt werden mit einer projektiven Abbildung. Letztere bildet einen projektiven Raum auf einen anderen ab.

Eigenschaften von Zentralkollineationen einer projektiven Ebene

→ Hauptartikel: Zentralkollineation

Datei:Zentralkollineation-achse.svg

Zentralkollineation: Homologie

Datei:Zentralkollineation-elation.svg

Zentralkollineation: Elation

Die hier aufgeführten Eigenschaften von Projektivitäten einer projektiven Ebene lassen sich relativ leicht auf höhere Dimensionen übertragen. Deshalb wird ab hier vorausgesetzt: Der projektive Raum ist eine projektive Ebene.

Damit die Menge der Projektivitäten eine Gruppe bildet, legt man fest:

• Die Identität ist eine Projektivität.

Wenn im Folgenden von einer Projektivität die Rede ist, setzen wir meistens stillschweigend voraus, dass es sich nicht um die Identität handelt.

• Eine Zentralkollineation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} mit dem Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} besitzt immer eine Achse, d. h., es gibt eine Gerade $a$, die punktweise fest bleibt. Man sagt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} ist eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Z,a)} -Perspektivität. Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} liegt, heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} Elation, im anderen Fall (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z\notin a} ) Homologie .

Beispiele im inhomogenen Modell ${\mathcal {P}}^{2}(K)$: Die projektive Fortsetzung

1. der Streckung am Nullpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y) \to (sx,sy)} ist eine Homologie mit Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(0,0)} und Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_\infty} .
2. der Streckung an der x-Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y) \to (x,sy)} ist eine Homologie mit Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(\infty)} und x-Achse als Achse.
3. der Translation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y) \to (x+c,y)} ist eine Elation mit Zentrum $Z=(0)$ und Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_\infty)} .
4. der Scherung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y) \to (x+cy,y)} ist eine Elation mit Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z=(0)} und der x-Achse als Achse.

• Für einen festen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} und eine feste Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} bildet die Menge $\Pi (Z,a)$ der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Z,a)} -Perspektivitäten eine Gruppe.
• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } eine feste Gerade und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi(a)} die Menge aller Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Z,a)} -Perspektivitäten, so gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi(a)} ist eine Gruppe.

Die letzte Aussage bedeutet: Die Hintereinanderausführung einer $(Z,a)$-Perspektivität und einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Z',a)} -Perspektivität ist wieder eine Perspektivität mit Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und einem Zentrum $Z''$ auf der Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ZZ'} .

Aus dem Dualitätsprinzip für projektive Ebenen folgt:

• Jede axiale Kollineation (es gibt eine Gerade, die nur Fixpunkte enthält) ist eine Zentralkollineation. Man muss also axiale Kollineationen nicht gesondert behandeln.

Über die Existenz und Eindeutigkeit von Zentralkollineationen macht der folgende Satz eine Aussage:

Satz (Baer) :

• Gilt in einer projektiven Ebene der Satz von DESARGUES, so gilt: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} eine Gerade und sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z,P,P'} drei kollineare Punkte mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P,P'\notin a} , so gibt es genau eine $(Z,a)$-Perspektivität (Zentralkollineation mit Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} , Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} ), die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P'} abbildet.

(Eine desarguessche Ebene lässt sich mit einem Schiefkörper koordinatisieren.)

Eigenschaften von Projektivitäten in einer projektiven Ebene über einem Körper

In diesem Fall gilt:

• Die Menge der Projektivitäten einer projektiven Ebene ${\mathcal {P}}^{2}(K)$ über einem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} (pappussche Ebene) ist die Menge der Kollineationen, die von regulären Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3 \times 3)} -Matrizen im homogenen Modell induziert werden. Man bezeichnet sie mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PGL(3,K)} (projektive lineare Gruppe).

Da Vielfache der Einheitsmatrix nur die Identität induzieren, darf man die Matrix einer Projektivität mit solch einem Vielfachen der Einheitsmatrix multiplizieren, ohne dass sich die Wirkung der Projektivität ändert.

• Eine Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in PGL(3,K)} induziert genau dann eine Zentralkollineation, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} einen Eigenraum der Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} hat.

Sie ist eine Homologie, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} einen weiteren Eigenwert hat und die Matrix also diagonalisierbar ist. Sie ist eine Elation, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} nicht diagonalisierbar ist.

Eine kennzeichnende Invariante der Projektivitäten ist das Doppelverhältnis:

• Die Projektivitäten einer pappusschen projektiven Ebene sind diejenigen Kollineationen, die das Doppelverhältnis invariant lassen.

Vier projektiv unabhängige Punkte in der projektiven Ebene

Die Rolle von Basispunkten einer projektiven Ebene übernehmen Quadrupel von projektiv unabhängigen Punkten (Punkte in allgemeiner Lage). Vier Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B,C,D} sind dabei projektiv unabhängig, wenn keine drei auf einer Gerade liegen. Es gilt:

• Vier projektiv unabhängige Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B,C,D} einer pappusschen projektiven Ebene lassen sich in geeigneten homogenen Koordinaten immer beschreiben durch:

$A=(1\colon 0\colon 0),\ B=(0\colon 1\colon 0),\ C=(0\colon 0\colon 1),D=(1\colon 1\colon 1)$.

Eine für die Untersuchung von Projektivitäten wichtige Aussage ist der Fundamentalsatz:

• Lässt eine Projektivität einer pappusschen projektiven Ebene vier projektiv unabhängige Punkte fest, so ist sie die Identität.

Eine Folgerung des Hauptsatzes ist:

• Sind $A,B,C,D$ und $A',B',C',D'$ jeweils vier projektiv unabhängige Punkte einer pappusschen projektiven Ebene, so gibt es genau eine Projektivität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi(A)=A',\pi(B)=B',\pi(C)=C',\pi(D)=D'} .

Weblinks

• Projektive Geometrie. (PDF; 183 kB). Skript (Uni Darmstadt), S. 7
• W.P. Barth: Geometrie, Uni Marburg, S. 85

Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, S. 93, 124.
• Wilhelm Blaschke: Projektive Geometrie. Wolfenbütteler Verlagsanstalt, Wolfenbüttel-Hannover, 1947.
• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
• P. Dembowski, Finite Geometries, Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8
• Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Projective Planes. Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
• Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademie Verlag, Leipzig 1965, DNB 452996449.
• Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie I, Bibliograph. Institut Hochschultaschenbücher 158/158a, 1969, S. 83
• Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.
• Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1
• Olaf Tamaschke: Projektive Geometrie I, Bibliogr. Institut, Hochschulskripten 829/829a, 1968, S. 84