Vollständige Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist eine vollständige Kategorie eine Kategorie, die alle kleinen Limiten besitzt. Das heißt, dass für jede kleine Kategorie ${\mathcal {I}}$ und jeden Funktor $D:{\mathcal {I}}\to {\mathcal {C}}$ in der Kategorie ${\mathcal {C}}$ der Limes von $D$ in ${\mathcal {C}}$ existiert.

Dual dazu heißt eine Kategorie kovollständig, falls sie alle kleinen Kolimiten besitzt. Das ist gleichbedeutend damit, dass die duale Kategorie ${\mathcal {C}}^{op}$ vollständig ist.

Existieren alle Limiten (bzw. Kolimiten) für eine feste kleine Kategorie ${\mathcal {I}}$, so sagt man, ${\mathcal {C}}$ sei ${\mathcal {I}}$-vollständig (bzw. ${\mathcal {I}}$-kovollständig).

Ist ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {I}}$-vollständig (bzw. ${\mathcal {I}}$-kovollständig) für alle endlichen Kategorien ${\mathcal {I}}$, so nennt man ${\mathcal {C}}$ endlich vollständig (bzw. endlich kovollständig).

Beispiele

• Die Kategorie $\mathbf {Set}$ aller Mengen ist vollständig und kovollständig.
• Jede Kategorie algebraischer Strukturen mit endlichstelligen Verknüpfungen ist vollständig und kovollständig. Darunter fallen beispielsweise Gruppen, abelsche Gruppen, Ringe und kommutative Ringe.
• Ist $R$ ein Ring, so ist die Kategorie der $R$-Linksmoduln vollständig und kovollständig.
• Die Kategorie $\mathbf {Top}$ aller topologischen Räume ist vollständig und kovollständig.
• Ist $\mathbf {Ord}$ die Klasse aller Ordinalzahlen, so erhält man daraus eine Kategorie mit $\mathbf {Ord}$ als Klasse der Objekte. Die Morphismen sind die bestehenden Relationen $\alpha \leq \beta$ zwischen zwei Ordinalzahlen, d. h. $\mathrm {Hom} (\alpha ,\beta )$ ist eine einelementige Menge, falls $\alpha \leq \beta$, anderenfalls leer. Dann ist diese Kategorie kovollständig aber nicht vollständig.
• Die Kategorie der endlichen Mengen ist endlich vollständig und endlich kovollständig, aber weder vollständig noch kovollständig.
• Es sei $\mathbf {2}$ die kleine Kategorie mit zwei Objekten 0 und 1 und drei Morphismen, nämlich den beiden Identitäten und einem weiteren Morphismus $0\rightarrow 1$. Dann ist jede Kategorie $\mathbf {2}$-vollständig.
• Für die leere Kategorie ${\mathcal {I}}=\emptyset$ gilt: Eine Kategorie ist genau dann $\emptyset$-vollständig, wenn sie ein terminales Objekt besitzt. Ganz ähnlich kann man die Existenz von endlichen Produkten oder Pullbacks als geeignete ${\mathcal {I}}$-Vollständigkeiten beschreiben.

Vollständigkeit und Kovollständigkeit

In obiger Beispielliste fällt auf, dass Vollständigkeit und Kovollständigkeit für die gängigen Kategorien einhergehen, das Ausnahmebeispiel der Ordinalzahlen wirkt konstruiert. Tatsächlich besteht folgender enger Zusammenhang:

Sei ${\mathcal {C}}$ eine vollständige Kategorie mit folgenden beiden Eigenschaften:

• Für jedes Objekt $C$ ist die Klasse der Unterobjekte (Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel $C$) eine Menge.
• ${\mathcal {C}}$ hat einen Koseparator $S$, das heißt zu je zwei verschiedenen Morphismen $f,g:A\rightarrow B$ gibt es einen Morphismus $h:B\rightarrow S$ mit $h\circ f\not =h\circ g$.

Dann ist ${\mathcal {C}}$ kovollständig (und ${\mathcal {C}}^{op}$ erfüllt auch die erste der Eigenschaften).