Euler-Theorem

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Das Euler-Theorem (manchmal auch Eulersche Identität[1] oder Satz von Euler über homogene Funktionen) ist ein Satz aus der Analysis, der den Zusammenhang einer (total) differenzierbaren und (positiv) homogenen Funktion mit ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung in der Volkswirtschaftslehre, insbesondere in der Mikroökonomie.[2] Dort ist es auch unter den Namen Wicksteed-Euler-Theorem oder Ausschöpfungstheorem bekannt.

Geschichte

Der Satz ist nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem wurde in die Wirtschaftswissenschaften durch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem in seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination of the Laws of Distribution.

Aussage

Sei die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \mathbb{R}^k \to \mathbb{C}} (total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \in\mathbb{R}} . Letzteres bedeutet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(tx) = t^\lambda f(x)} für alle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^k} . Dann gilt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^k} :[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda\cdot f(x) = \sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot x_i = \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\cdot x_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_k}(x)\cdot x_k}

Herleitung

Betrachte die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{C},\; t \mapsto f(tx)} . Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot x_i = \frac{\mathrm df(tx)}{\mathrm dt} \bigg\vert_{t=1} = \frac{\mathrm dt^\lambda f(x)}{\mathrm dt} \bigg\vert_{t=1} = \lambda t^{\lambda-1}f(x)\bigg\vert_{t=1} = \lambda f(x)} ,

wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} folgt.

Anwendung in der Volkswirtschaftslehre

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \mathbb{R}_{\geq0}^k \to \mathbb{R}} die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} (positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:

Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, \dotsc, x_k} im Marktgleichgewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^* \in \mathbb{R}_{\geq 0}^k} gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1, \dotsc, k} , dass die Faktorentlohnung des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Produktionsfaktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x^*_i}(x^*)} entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*} keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion für die Entlohnung der Produktionsfaktoren, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^*)\cdot x^*_i} , aufgewendet wird.

Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} und hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\alpha K, \alpha L) = \alpha f(K, L)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}_{>0}} gilt. Laut Eulers Theorem folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K \frac{\partial f}{\partial K}(K, L) + L \frac{\partial f}{\partial L}(K, L) = K \cdot \frac12 \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}} + L \cdot \frac12 \frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}} = \sqrt{KL} = f(K, L)}

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ a b Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3, Kapitel 2.8, Aufgabe 4.
  2. ↑ Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry R. Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York 1995, ISBN 978-0-19-510268-0, S. 929.
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