Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung (nach Sandra M. Faber und Robert Earl Jackson, die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} in elliptischen Galaxien. Danach hängt die Leuchtkraft proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L \propto \sigma^\gamma}

Der Exponent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} liegt sehr nahe bei 4.

Die Faber-Jackson-Beziehung ist zu verstehen als Projektion der Fundamentalebene von elliptischen Galaxien, um auch bei unbekannter Entfernung von elliptischen Galaxien die Leuchtkraft und schließlich die Geschwindigkeitsdispersion einer elliptischen Galaxie zu bestimmen.

Herleitung

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = 4} . Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius R und Masse M ist

$U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

Die gesamte kinetische Energie ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = \frac{1}{2}M \sigma^2}

Mit dem Virialtheorem ($2T+U=0$) folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2 =\frac{3}{5}\frac{GM}{R}} .

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, $M\propto L$, kann M ersetzt werden und hat noch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L \propto \frac{\sigma^2R}{G}} ,

eine Beziehung zwischen R und der Geschwindigkeitsdispersion:

$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

$B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=4 \pi R^2 B} ,

$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L \propto\frac{\sigma^4}{4\pi G^2 B} \propto \sigma^4} ,

Quellen

• Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), bibcode:1976ApJ...204..668F

Siehe auch

• Tully-Fisher-Beziehung