Friis-Übertragungsgleichung

Die Friis-Übertragungsgleichung (nach Harald Friis, der sie 1946 bei den Bell Laboratories erstmals formulierte) drückt in der Nachrichtentechnik die empfangene Leistung einer Antenne aus als Funktion einer zweiten, in bestimmten Abstand aufgestellten Sendeantenne. Die Gleichung gilt im leeren Raum (Vakuum) und beachtet neben der Freiraumdämpfung auch den Antennengewinn der eingesetzten Sende- und Empfangsantenne.

Die Friis-Übertragungsgleichung ist nicht zu verwechseln mit der ebenfalls von Harald Friis entwickelten Friis-Formel zur Berechnung der Rauschzahl.

Mathematische Formulierung

In der einfachsten Form sind im sonst leeren Raum zwei Antennen in einem Abstand $R$ installiert. Die Sendeantenne strahlt eine Leistung $P_{\text{t}}$ mit der Wellenlänge $\lambda$ ab und hat einen Antennengewinn von $G_{\text{t}}$. Die Empfangsantenne empfängt mit einem Antennengewinn $G_{\text{r}}$ die Leistung $P_{\text{r}}$. Die Friis-Übertragungsgleichung lässt sich dann ausdrücken als:

${\begin{aligned}{\frac {P_{\text{r}}}{P_{\text{t}}}}&=G_{\text{t}}\cdot G_{\text{r}}\cdot \left({\frac {\lambda }{4\pi R}}\right)^{2}\\&={\frac {G_{\text{t}}\cdot G_{\text{r}}}{D_{\text{f}}}}\end{aligned}}$

Der Kehrwert des Klammerausdrucks wird auch als Freiraumdämpfung $D_{\text{f}}$ bezeichnet:

$D_{\text{f}}=\left({\frac {4\pi R}{\lambda }}\right)^{2}$

In praktischen Anwendungen werden die eingesetzten Größen wie der Antennengewinn logarithmiert und in Dezibel (dB) ausgedrückt. Die Leistungen werden dimensionslos in dBm eingesetzt. Die Gleichung nimmt dann die Form einer Summe an und stellt einen Teil einer Leistungsübertragungsbilanz dar:

${\begin{aligned}P_{\text{r dB}}&=P_{\text{t dB}}+G_{\text{t dB}}+G_{\text{r dB}}+20\cdot \log _{10}\left({\frac {\lambda }{4\pi R}}\right)\\&=P_{\text{t dB}}+G_{\text{t dB}}+G_{\text{r dB}}-D_{\text{f dB}}\\&=P_{\text{t dB}}+G_{\text{t dB}}+G_{\text{r dB}}-{\text{FSPL}}\end{aligned}}$

mit dem Freiraumdämpfungsfaktor:

${\begin{aligned}{\text{FSPL}}&=D_{\text{f dB}}\\&=10\cdot \log _{10}(D_{\text{f}})\\&=20\cdot \log _{10}\left({\frac {4\pi R}{\lambda }}\right)\end{aligned}}$

Randbedingungen und Anwendung

Die Friis-Übertragungsgleichung gilt nur unter idealen Bedingungen im Bereich des Fernfeldes mit $R>2\cdot \lambda$. Weiters darf keine Mehrwegeausbreitung vorliegen, und der Raum muss frei von die Welle dämpfenden Hindernissen sein. Praktisch immer vorhandene Verluste in den Antennenzuleitungen und Steckern werden als nicht existent betrachtet.

Da diese idealen Modellbedingungen nicht exakt, sondern nur in Näherung erreichbar sind, wird die Friis-Übertragungsgleichung in praktischen Anwendungen bei der Dimensionierung von Funkstrecken nur als Näherung und zur Überschlagsrechnung verwendet.

Literatur

• Constantine A. Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 3. Auflage. John Wiley & Sons, 2012, ISBN 978-0-471-71461-3.