Gaußsche Trapezformel

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Jeder Polygonkante wird der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt eines Trapezes zugeordnet. Der Flächeninhalt des Polygons ergibt sich dann durch Aufsummieren dieser Trapezflächen

Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist es möglich, die Fläche eines einfachen Polygons zu berechnen.[1] Dabei wird jeder Polygonkante ein Trapez (siehe Bild) zugeordnet, dessen Flächeninhalt sowohl positiv als auch negativ sein kann. Negative Flächenteile kompensieren außerhalb des Polygons liegende Teile positiver Trapeze.

Eine Variation der Trapezformel ist die Dreiecksform, deren Analogon für stückweise glatte Kurven die Sektorformel von Leibniz ist.

Das Prinzip und die Formel

Datei:Trapez-formel-prinz.svg
Prinzip

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_i=(x_i,y_i), i=1,...n} des Polygons im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Punkte mit wachsendem im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn) durchlaufen werden. Aus praktischen Gründen wird angenommen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{n+1}=P_1} ist. Der Kante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_i,P_{i+1}} wird dann der Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_i=\tfrac 1 2(y_i + y_{i+1})(x_i - x_{i+1})}

des Trapezes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_i,0),(x_{i+1},0)} zugeordnet. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i<x_{i+1}} so ist negativ, im anderen Fall positiv oder falls Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{i}=x_{i+1}} ist. In der Zeichnung ist die Orientierung der Kanten durch Pfeile gekennzeichnet. An der Farbe der Pfeile ist das Vorzeichen der jeweiligen Trapezfläche zu erkennen: rot steht für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A_{i}<0} , grün für . Im ersten Fall heißt das Trapez negatives Trapez, im zweiten Fall positives Trapez. Die negativen Trapeze löschen die außerhalb des Polygons liegenden Flächenteile positiver Trapeze. Am einfachsten ist dies an dem Beispiel eines konvexen Polygons (im Bild oben) zu erkennen: Der Flächeninhalt des Polygons ist gleich der Summe der Flächeninhalte aller positiven Trapeze (mit grünen Kanten) minus den Flächeninhalten aller negativen Trapeze (mit roten Kanten).

Für den Flächeninhalt, des von dem Polygon Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P_{1},...,P_{n}} eingeschlossenen Gebiets ergibt sich also

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{\color {red}1})(x_{n}-x_{\color {red}1}){\Big )}}
Dreiecksform: Die Farben der Polygonkanten deuten an, welche Dreiecksfläche positiv (grün) bzw. negativ (rot) ist

Multipliziert man die Klammern aus und beachtet Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}} , erhält man die Determinantenform der Flächenformel:

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac 1 2 \sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) =\frac 1 2\sum_{i=1}^{n}\begin{vmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{vmatrix}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \qquad =\frac 1 2 \Big(x_1y_2-x_2y_1+\cdots +x_ny_{\color{red}1}-x_{\color{red}1}y_n\Big)}

Da die Hälfte der Determinante die vorzeichenbehaftete Fläche des Dreiecks Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O,P_i,P_{i+1}} ist, wird diese Formel auch als Dreiecksform bezeichnet.

Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_0=P_n} (zusätzlich zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{n+1}=P_1} (siehe oben)), so gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ \sum_{i=1}^n x_iy_{i+1}=\sum_{i=1}^n x_{i-1}y_i\ } und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2A=\sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) =\sum_{i=1}^n x_iy_{i+1}- \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i =\sum_{i=1}^n {\color{red}x_{i-1}y_i}- \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i }

Führt man beide Summen wieder zusammen und klammert Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{i}} aus, so erhält man eine weitere Darstellung der Flächenformel: [2]

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\frac 1 2 \sum_{i=1}^n y_i(x_{i-1}-x_{i+1})}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad =\frac 1 2 \Big(y_1(x_{\color{red}n}-x_2)+y_2(x_1-x_3)+ \cdots+y_n(x_{n-1}-x_{\color{red}1})\Big)}

Verwendet man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i=\sum_{i=1}^n x_iy_{i-1}\ } erhält man

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\frac 1 2 \sum_{i=1}^n x_i(y_{i+1}-y_{i-1}) }

Geht man von einem Polygon mit negativer Orientierung aus, ist auch der Flächeninhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} negativ.

Hinweis: In der Geodäsie ist die x-Achse vertikal und y-Achse horizontal und die Orientierung des Polygons entgegengesetzt. Vertauschen der Koordinaten und der Orientierung des Polygons bewirken bei der Anwendung der Formeln keine Änderung. Falls man eine dieser Änderungen nicht beachtet, erhält man mit den obigen Formeln in jedem Fall mit den gesuchten Flächeninhalt.
Die beiden letzten Formeln werden in Büchern über Vermessungskunde auch als Gaußsche Dreiecksformeln bezeichnet.[3][4]

Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der Satz von Pick anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel problemlos durch Polygone approximieren, so dass man leicht an einen Näherungswert kommen kann.

Beispiel und Schnürsenkel-Schema

Beispiel

Für das 5-Eck mit den Punkten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1=(1,6),P_2=(3,1), P_3=(7,2),}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_4=(4,4), P_5=(8,5)}

ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2A= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 8 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad \ =1-18\;+6-7\;+28-8\;+20-32\;+48-5=33}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ \; A= 16,5}
Schnürsenkel-Schema für das Beispiel

In der englischen Literatur gibt es ein Schema, das das Berechnen der 2x2-Determinanten optimiert: Das Schnürsenkel-Schema (engl. shoelace formula) (siehe Bild). Diese plastische Beschreibung zeigt die praktische Bedeutung der Gaußschen Trapezformel. Statt 10 Spalten genügen bei dieser Methode 6 Spalten.

Einzelnachweise

  1. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662068095, 9783662068090, S. 116
  2. ↑ Josef Schlesinger: Der Tachygraph, Centralblatt für das gesamte Forstwesen: Organ der K.K. Forstlichen Versuchsanstalt in Mariabrunn, Band 2, Wien, 1876, S. 243
  3. ↑ Martin Näbauer: Vermessungskunde, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662418665, 9783662418666, S. 341
  4. ↑ Heribert Kahmen: Vermessungskunde, Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2020, ISBN 3110874067, 9783110874068, S. 259

Weblink

Literatur

  • Beat Brüderlin, Andreas Meier: Computergrafik und Geometrisches Modellieren, Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80111-1, S. 36
  • P. Grobstich, G. Strey: Mathematik für Bauingenieure, Springer-Verlag 2013, ISBN 3322800512, 9783322800510, S. 113 (Dreiecksregel)
  • Pietro Labranca: Probleme der Festigkeitslehre: Berechnung der Querschnittswerte und der Spannungen, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-663-13976-X, 9783663139768, S. 69
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch Verlag, Frankfurt, 1977, S. 318
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