Gewicht (Darstellung)

In der Darstellungstheorie der Lie-Algebren, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Gewichte gewisse lineare Abbildungen. Sie sind unter anderem deshalb von Bedeutung, weil Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert werden.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra, ${\mathfrak {h}}$ eine Cartan-Unteralgebra und $\pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ eine Darstellung. Eine lineare Abbildung

$\lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$

heißt Gewicht von $\pi$, wenn der Gewichtsraum

$V_{\lambda }=\left\{v\in V\colon \pi (h)v=\lambda (h)v\ \forall h\in {\mathfrak {h}}\right\}$

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Entsprechend ist ein Gewicht für eine Darstellung $\rho \colon G\to GL(V)$ einer Lie-Gruppe $G$ mit maximalem Torus $T$ ein Homomorphismus $\lambda \colon T\to \mathbb {C} ^{*}$, so dass der Gewichtsraum

$V_{\lambda }=\left\{v\in V\colon \rho (h)v=\lambda (h)v\ \forall h\in T\right\}$

nicht nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

Sei ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$, ${\mathfrak {h}}$ die Unteralgebra der Diagonalmatrizen und $\pi$ die definierende Darstellung von ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$. Dann gibt es $n$ Gewichte von $\pi$, nämlich die linearen Abbildungen

$\lambda _{i}\colon {\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} ,\quad \lambda _{i}\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{array}}\right)=a_{i}$

für $i=1,\ldots ,n$.

Literatur

• James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. 3rd printing, rev. Graduate Texts in Mathematics 9. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980.