Hanner-Ungleichungen

Die Hanner-Ungleichungen stammen aus der Funktionalanalysis und sind Ungleichungen für L^p-Normen. Sie haben einige wichtige Konsequenzen, unter anderem dass die L^p-Räume für $1<p<\infty$ gleichmäßig konvexe Räume sind.

Sie sind nach dem schwedischen Mathematiker Olof Hanner benannt.

Aussage

Seien $f,g\in L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$. Falls $1\leq p\leq 2$, dann gilt

$\|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}$

und

$2^{p}{\big (}\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|f+g\|_{p}+\|f-g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f+g\|_{p}-\|f-g\|_{p}{\big |}^{p}$.

Falls $2\leq p<\infty$, dann sind die Ungleichungssymbole umgekehrt, das heißt aus $\geq$ wird $\leq$.

Erläuterungen zu den Ungleichungen

Man erhält die zweite Ungleichung aus der ersten, wenn man die Substitution $f=f+g$ und $g=f-g$ durchführt. Denn dann wird die linke Seite $\|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}$ zu

$\|(f+g)+(f-g)\|_{p}^{p}+\|(f+g)-(f-g)\|_{p}^{p}=\|2f\|_{p}^{p}+\|2g\|_{p}^{p}=2^{p}(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p})$

und die rechte Seite formt man ähnlich um.

Für $p=2$ wird die Norm von einem Skalarprodukt induziert. In diesem Fall werden die Ungleichungen zu Gleichungen und sind äquivalent zu der Parallelogrammgleichung.