Ungleichung von Hilbert

Die Ungleichung von Hilbert (englisch Hilbert’s inequality) ist eine klassische Ungleichung der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie geht auf eine Arbeit des deutschen Mathematikers David Hilbert aus dem Jahre 1888 zurück und gibt eine obere Abschätzung zu gewissen Doppelsummen positiver reeller Zahlen. Hilberts Ungleichung wurde von zahlreichen Autoren verschärft, verallgemeinert und abgewandelt. Nicht zuletzt haben Hermann Weyl – etwa in seiner Inauguraldissertation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems von 1908 – und insbesondere Godfrey Harold Hardy sie intensiver Untersuchung unterzogen.

Formulierung der Ungleichung

Hilberts Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei für eine natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N > 0} ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N+1)} -Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_0, \ldots, a_N)} positiver reeller Zahlen.

Dann gilt:

(H) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^N {{a_i}^2} }  .

Verschärfungen

Nach H. Frazer hat die letzte Ungleichung eine Verschärfung, in der die Kreiszahl durch einen besseren Abschätzungsfaktor ersetzt wird:

(HF) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq (N+1) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{N+1}\right) \cdot \sum_{i=0}^N {{a_i}^2}}  .

D. V. Widder zeigte die folgende stärkere Ungleichung:

(HW) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N { \frac{(i+j)!} {i! j!} \frac{a_i a_j} {2^{i+j+1}} } } }  .

Verwandte Ungleichung

Fu Cheng Hsiang bewies die folgende verwandte Ungleichung:

Gegeben seien eine natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N > 0} und dazu zwei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N+1)} -Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_0, \ldots, a_N)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b_0, \ldots, b_N)} von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann gilt:

(HHs) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i b_j} {2i+2j+1}} } \leq (N+1) \cdot \sin {\frac{\pi}{2 (N+1)} } \cdot \left( \sum_{i=0}^N {{a_i}^2} \right)^{\frac{1}{2} } \cdot \left( \sum_{j=0}^N {{b_j}^2} \right)^{\frac{1}{2} } }  .

Analoga und Erweiterungen

In Analogie und Erweiterung der obigen Ungleichungen gewinnt man entsprechende für Doppelreihen und -integrale:

Für zwei Folgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( a_i \right)_{i \in \N}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( b_j \right)_{j \in \N}} von nichtnegativen reellen Zahlen, die nicht beide lediglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} als Folgenglied haben, und zwei positive reelle Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p,q } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1} gilt stets:

(HH_1) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} { \sum_{j=1}^{\infty} {\frac{a_i b_j} {i+j}} } < { \frac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } } \cdot \left( \sum_{i=1}^{\infty} {{a_i}^p} \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \sum_{j=1}^{\infty} {{b_j}^q} \right)^{\frac{1}{q}} }  .

Für zwei reelle Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f,g \colon [0,\infty) \to [0,\infty) } , die nicht beide die Nullfunktion sind, und zwei positive reelle Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p,q } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1} gilt stets:

(HH_2) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} {\frac{f(x) g(y)} {x+y}} \,\mathrm dx \,\mathrm dy < { \frac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } } \cdot \left( \int_0^{\infty} {f^p (x)} \,\mathrm dx \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( \int_0^{\infty} {g^q (x)} \,\mathrm dx \right)^{\frac{1}{q}}}  .

Zusatz: Es ist sowohl bei (HH_1) als auch bei (HH_2) der Abschätzungsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } } der bestmögliche.

Anmerkungen

• Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = q = 2} spricht man in Bezug auf (HH_1) auch vom hilbertschen Doppelreihensatz (englisch Hilbert’s double series theorem).
• Hinsichtlich des allgemeinen Falls ist es heute üblich, die obigen Ungleichungen (HH_1) bzw. (HH_2) als hardy-hilbertsche Ungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s inequality) bzw. als hardy-hilbertsche Integralungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s integral inequality) zu bezeichnen.

Zwei weitere verwandte Ungleichungen

Im Rahmen der Bemühungen, einen möglichst einfachen Beweis des hilbertschen Doppelreihensatzes zu liefern, wurden – beginnend in den Jahren 1920 bis 1925 mit Arbeiten von G. H. Hardy und Edmund Landau – zwei verwandte Ungleichungen für Reihen und Integrale gefunden und abgeleitet, welche beide unter dem Stichwort hardysche Ungleichung (englisch Hardy’s inequality) bekannt wurden. Es handelt sich um die folgenden:

Für eine Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( a_i \right)_{i \in \N}} nichtnegativer reeller Zahlen, die nicht alle gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} sind, und eine reelle Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p > 1} gilt stets:

(H_1) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{a_1 + \ldots + a_i} {i} \right)^p < \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \cdot \sum_{i=1}^{\infty} {{a_i}^p} }  .

Für eine reelle Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon [0,\infty) \to [0,\infty) } , die nicht die Nullfunktion ist, und eine reelle Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p > 1} gilt stets:

(H_2) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^{\infty} \left( \frac{\int_0^x f(t) \,\mathrm dt} {x} \right)^p \,\mathrm dx < \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \cdot \int_0^{\infty} f^p (x) \,\mathrm dx }  .

Zusatz: Sowohl bei (H_1) als auch bei (H_2) ist der Abschätzungsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \frac{p}{p-1} \right)^p } der bestmögliche.

Literatur

• H. Frazer: Note on Hilbert’s inequality. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 21, 1946, S. 7–9 (MR0018226). 
• G. H. Hardy: Note on a theorem of Hilbert. In: Mathematische Zeitschrift. Band 6, 1920 (MR1544414). 
• G. H. Hardy: Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms. In: Proceedings of the London Mathematical Society (2). Band 23, 1925. 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973. 
• David Hilbert: Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. In: Mathematische Annalen. Band 32, 1888, S. 342–350 (MR1510517). 
• Fu Cheng Hsiang: An inequality for finite sequences. In: Mathematica Scandinavica. Band 5, 1957, S. 12–14 (digizeitschriften.de). 
• E. Landau: A note on a theorem concerning series of positive terms. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 1, 1926, S. 38–39. 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Waadallah Tawfeeq Sulaiman: Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations. In: Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica. Band 11, 2007, S. 23–32 (MR2391968). 
• D. V. Widder: An Inequality Related to One of Hilbert’s. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 4, 1929, S. 194–198 (MR1575045). 
• Bicheng Yang, Qiang Chen: A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane. In: Journal of Function Spaces. 2016 (8 S., MR3548430 – Art. ID 9197476).