Hauptraum

Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis.

Definition des Hauptraums

Ist $F\colon V\to V$ eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ in sich selbst, $\lambda$ ein Eigenwert von $F$ und bezeichnet $r$ die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $\lambda$, dann nennt man den Kern der $r$-fachen Hintereinanderausführung von $(F-\lambda \,\mathrm {id} )$ Hauptraum zum Eigenwert $\lambda$, d. h.

$\operatorname {Hau} (F,\lambda ):=\{v\in V\mid (F-\lambda \,\mathrm {id} )^{r}(v)=0{\text{ für ein }}r\in \mathbb {N} \}$.

Dabei steht $\mathrm {id}$ für die identische Abbildung auf $V$. Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren $v$ aufgespannt, für die $(F-\lambda \,\mathrm {id} )^{r}(v)=0$ gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Untervektorraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert.

Hauptvektor

Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei $F$ ein Endomorphismus und $\lambda$ ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor $v$ heißt Hauptvektor der Stufe $p$, wenn

$(F-\lambda \,\mathrm {id} )^{p}(v)=0$

aber

$(F-\lambda \,\mathrm {id} )^{p-1}(v)\neq 0$

gilt. Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.

Satz über die Hauptraumzerlegung

Es sei $F$ ein Endomorphismus, und sein charakteristisches Polynom

$\chi _{F}(t)=\pm \prod _{j=1}^{k}(t-\lambda _{j})^{r_{j}}$

zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen $\lambda _{1}\ldots \lambda _{k}\in K$. Dann gilt:

1. Der Hauptraum ist $F$-invariant, das heißt $F\left(\operatorname {Hau} (F,\lambda _{i})\right)\subset \operatorname {Hau} (F,\lambda _{i})$.
2. Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also $\dim \left(\operatorname {Hau} (F,\lambda _{i})\right)=r_{i}$.
3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung (innere direkte Summe) von $V$. Es gilt also Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V=\operatorname {Hau} (F,\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Hau} (F,\lambda _{k})} .
4. Der Endomorphismus $F$ besitzt eine Zerlegung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F=F_{D}+F_{N}} . Darin ist $F_{D}$ diagonalisierbar, $F_{N}$ ist nilpotent, und es gilt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F_{D}\circ F_{N}=F_{N}\circ F_{D}} .

Beispiel

Sei eine Matrix $A\in \mathbb {R} ^{6\times 6}$ gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:

$\det \left(A-\lambda I\right)=(\lambda -2)^{3}(\lambda -4)^{3}$.

Außerdem soll gelten:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{aligned}\dim \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)&=2\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)^{2}=3\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)^{3}=3\\\dim \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)&=1\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)^{2}=2\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)^{3}=3\\\end{aligned}}}

Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwerts 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die Jordansche Normalform $J$ konstruieren

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&0&0&0&0&0\\0&2&1&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&4&1&0\\0&0&0&0&4&1\\0&0&0&0&0&4\end{bmatrix}}}

über eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix $P$

$P^{-1}AP=J\quad \Longleftrightarrow \quad AP=PJ$,

wobei die Spaltenvektoren von $P$ den Hauptvektoren Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle p_{i}} entsprechen:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}&p_{5}&p_{6}\end{bmatrix}}}

Die Transformation Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle AP=PJ} lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:

$A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}&p_{5}&p_{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}&p_{5}&p_{6}\end{bmatrix}}J={\begin{bmatrix}2p_{1}&2p_{2}&2p_{3}+p_{2}&4p_{4}&4p_{5}+p_{4}&4p_{6}+p_{5}\end{bmatrix}}$

Somit folgt:

${\begin{aligned}\left(A-2I\right)p_{1}&=0\\\left(A-2I\right)p_{2}&=0\\\left(A-2I\right)p_{3}&=p_{2}\quad \Rightarrow \quad \left(A-2I\right)^{2}p_{3}=\left(A-2I\right)p_{2}=0\\\left(A-4I\right)p_{4}&=0\\\left(A-4I\right)p_{5}&=p_{4}\quad \Rightarrow \quad \left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\\\left(A-4I\right)p_{6}&=p_{5}\quad \Rightarrow \quad \left(A-4I\right)^{3}p_{6}=\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\end{aligned}}$

$p_{1}$, $p_{2}$ und $p_{4}$ sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren), $p_{3}$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle p_{5}} Hauptvektoren zweiter Stufe und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle p_{6}} ist ein Hauptvektor dritter Stufe.

Damit werden die Kerne der Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A-\lambda E} wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{n}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 2 \,,\\ \operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =\left\langle p_{4}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=\left\langle p_{4},p_{5}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{n}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 3 \end{align}}

Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{Hau}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)^{2}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)=\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \\ \operatorname{Hau}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)^{3}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)=\left\langle p_{4}\right\rangle \end{align} }

Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dim\left(\operatorname{Hau}(A,2)\right) = 3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dim\left(\operatorname{Hau}(A,4)\right) = 3} . Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=\mathbb{R}^{6}} , d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = \operatorname{Hau}(A,2) \oplus \operatorname{Hau}(A,4)} .

Die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} besitzt eine Zerlegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = A_{D}+A_{N}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_D} diagonalisierbar und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_N} nilpotent ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^{-1}(A_{D}+A_{N})P=J_{D}+J_{N}} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J_{D}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{bmatrix} \ ,\quad J_{N}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} }

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.