Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei $(A,\leq )$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

$f\colon \,A\to A$

heißt extensiv, falls gilt:

$a\leq f(a)$ für alle $a\in A$.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

$f(a)\leq a$ für alle $a\in A$.

Beispiele

1. Auf $(A,\leq )$ ist die Identität $\operatorname {id} _{A}\colon \,a\mapsto a$ extensiv und intensiv, da $a\leq a$ immer gilt.
2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung $f\colon A\rightarrow A$ bereits dann einen Fixpunkt, falls $A$ streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

• Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.