Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen

Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit $(X,\omega )$ ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur $J$, welche mit der symplektischen Form $\omega$ kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

$g(u,v)=\omega (u,Jv)$

auf dem Tangentialraum von $X$ an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit $X$ mit einer hermitischen Metrik $h$ dessen zugehörige 2-Form $\omega$ ist geschlossen. Genauer gesagt, gibt $h$ eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum $TX$ an jedem Punkt von $X$ und die 2-Form $\omega$ ist definiert durch

$\omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)$

für Tangentialvektoren $u$ und $v$. Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik $g$ angesehen werden definiert durch

$g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).$

Riemannsche Sichtweise

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $J\colon TM\to TM$ eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung $J\colon TM\to TM$ mit $J^{2}=-Id$ und $g\colon {\mathcal {V}}(M)\times {\mathcal {V}}(M)\to C^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ eine riemannsche Metrik, wobei ${\mathcal {V}}(M)$ den Raum der glatten Vektorfelder auf $M$ bezeichnet. Das Tripel $(M,J,g)$ heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

• $g(JX,JY)=g(X,Y)$

für alle Vektorfelder $X,Y\in {\mathcal {V}}(M)$ gilt und

• $\omega (X,Y):=g(JX,Y)$ eine symplektische Form

ist. Die 2-Form $\omega$ heißt dann die Kähler-Form von $M$ und $g$ die Kähler-Metrik.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hodge-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension $N$, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten $r$-Formen als $\Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d$ definiert, wobei $d$ die äußere Ableitung und $d^{*}:=-(-1)^{Nr}\star d\star$ ist und $\star$ den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermetische Mannigfaltigkeit $X$ werden $d$ und $d^{*}$ zerlegt als

$d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},$

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

$\Delta _{\bar {\partial }}:={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .$

Wenn $X$ Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

$\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.$

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit $X$ die Gleichheit

${\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X)$

gilt, wobei ${\mathcal {H}}^{r}$ der Raum harmonischer $r$-Formen auf $X$ (Formen $\alpha$ mit $\Delta \alpha =0$) und ${\mathcal {H}}^{p,q}$ der Raum harmonischer $(p,q)$-Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform $\alpha$ harmonisch ist, wenn alle ihre $(p,q)$-Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit $X$, gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie $H^{r}(X,\mathbb {C} )$ von $X$ mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

$H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).$

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von $X$ als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von $X$ als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

1. Der komplexe Raum $\mathbb {C} ^{n}$.
2. Ein kompakt komplexer Torus $\mathbb {C} \setminus \Lambda$.
3. Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
4. Der komplex-projektive Raum $\mathbb {C} P^{n}$ und projektive Varietäten $X\subset \mathbb {C} ^{n}$.
5. Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
6. Hermetisch symmetrische Räume.
7. Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
8. Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch

• Quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit
• Fastkomplexe Mannigfaltigkeit

Weblinks

• A.L. Onishchik: Kähler manifold. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 

Literatur

• Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
• Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.