Kürzbarkeit

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Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma .

Definition

Ein Element heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle gilt:

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle gilt:

heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

  • In einem Ring ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
  • In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes kürzbar ist.

Beispiele

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition oder mit der üblichen Multiplikation ist eine kürzbare Halbgruppe.
  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum oder mit dem Minimum ist keine kürzbare Halbgruppe.