Kürzbarkeit

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma $(M,*)$.

Definition

Ein Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \in M} heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle $a,b\in M$ gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c*a = c*b \implies a = b,}

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b \in M} gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a*c = b*c \implies a = b.}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \in M} heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn $c$ links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

• In einem Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (R, +, \cdot)} ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
• In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe $(S,*)$ heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in S} kürzbar ist.

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbb N, +)} oder mit der üblichen Multiplikation $(\mathbb {N} ,\cdot )$ ist eine kürzbare Halbgruppe.
• Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum $(\mathbb {N} ,{\text{max}})$ oder mit dem Minimum $(\mathbb {N} ,{\text{min}})$ ist keine kürzbare Halbgruppe.