Klempnern (Mathematik)

Datei:Plumbing disk bundles.jpg

Klempnern zweier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D^1} -Bündel über $S^{1}$ gibt eine 2-Mannigfaltigkeit, den punktierten Torus.

In der Mathematik ist Klempnern (engl. plumbing) eine Methode zur Konstruktion von Mannigfaltigkeiten.

Gegeben seien zwei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D^n} -Bündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1,E_2} über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionalen Mannigfaltigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_1,M_2} . Man wähle in $M_{1},M_{2}$ Kreisscheiben $D_{1}^{n},D_{2}^{n}$. Über diesen sind die Bündel trivialisierbar, können also mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_1^n\times D_2^n} bzw. $D_{2}^{n}\times D_{1}^{n}$ identifiziert werden. Vermittels der Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)\to(y,x)} kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_1^n\times D_2^n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_2^n\times D_1^n} verkleben. Den Quotientenraum bezeichnet man als die durch Klempnern der beiden Kreisscheibenbündel erhaltene Mannigfaltigkeit.

Zu einem Graphen, mit dessen Knoten jeweils Kreisscheibenbündel assoziiert sind, kann man eine geklempnerte Mannigfaltigkeit konstruieren, indem man obige Konstruktion durchführt für alle diejenigen Paare von Kreisscheibenbündeln, deren zugehörige Knoten im Graph durch eine Kante verbunden sind.

Literatur

• Dale Rolfsen: Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish or Perish, Inc. (1976)
• John Milnor: Differentiable structures on spheres. Am. J. Math. 81, 962–972 (1959)