In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie.
Definition
Eine stetige Abbildung ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen
mit
(für die durch definierte Inklusive )
immer eine stetige Abbildung
mit
und
(für die natürliche Projektion ) gibt.
Falls die Inklusion eines Unterraumes ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion
gibt.
Beispiele
- ist eine Kofaserung.
- Für jeden CW-Komplex und alle ist die Inklusion
- des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.
Kofaser
Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung ist ihr Abbildungskegel . Für jede verallgemeinerte Homologietheorie hat man eine lange exakte Sequenz
Falls die Abbildung eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser als Kofaser.
Wenn eine Inklusion eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum und es gilt
- .
Literatur
- Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4