Kohärente Garbe

In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Definition

Es sei $X$ ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe ${\mathcal {O}}_{X}$ von Ringen. Dann heißt eine ${\mathcal {O}}_{X}$-Modulgarbe ${\mathcal {M}}$ kohärent, wenn

1. ${\mathcal {M}}$ endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt $x$ von $X$ hat eine offene Umgebung $U$, auf der eine Surjektion ${\mathcal {O}}_{U}^{n}\to {\mathcal {M}}_{|U}$ existiert, und
2. für jede offene Teilmenge $U$ von $X$ und jeden Morphismus ${\mathcal {O}}_{U}^{n}\to {\mathcal {M}}_{|U}$ ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften

• Die kohärenten Garben bilden eine abelsche Kategorie, die stabil unter Erweiterungen ist. Das bedeutet insbesondere: Ist

$0\to {\mathcal {M}}'\to {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}''\to 0$

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.

• Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie

• Ist $X$ ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
• Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere $A$ ein noetherscher Ring und $X$ ein eigentliches $A$-Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als $A$-Moduln endlich erzeugt.

Kohärente Garben in der komplexen Analysis

• Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass ${\mathcal {O}}_{X}$ selbst kohärent ist, nicht trivial.
• Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Literatur

• Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
  Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
• A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
  Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2