KPP-Gleichung
Die Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung nach Andrei Kolmogorow, Iwan Petrowski und Nikolai Piskunow 1937) ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung von der Form einer Reaktions-Diffusions-Gleichung.
Ein Spezialfall ist Fishers-Gleichung (nach Ronald Aylmer Fisher 1937) der Populationsdynamik, eine stetige Variante der Logistischen Gleichung (siehe auch Logistische Funktion).
Hauptteil
Die KPP-Gleichung hat die Form:[1][2]
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t u = \partial^2_x u + g(u)}
mit einer nichtlinearen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g (u)} , die erfüllt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(1)=g(0)=0} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(u') >0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac {dg}{du} (u') < \tfrac {dg}{du} (0)} für (Das Intervall [0,1] ist häufig auch das Definitionsintervall der Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} , wenn diese eine Konzentration angibt).
Fishers Gleichung ist ein Spezialfall der Form:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t u = \partial^2_x u +u \cdot (1- u) = \partial^2_x u + u - u^2}
Manchmal wird statt des Reaktionsterms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(u)=u \cdot (1-u)} auch ein Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(u)=r \cdot u \cdot (1-u)} angegeben, ähnlich wie bei der Logistischen Gleichung.
Dies ist eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung. Sie wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren, beispielsweise die Populationsdynamik oder chemische Reaktionen.
Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial^2_x u} und einem nichtlinearen Reaktionsterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u - u^2} .
Verwendet man eine ortsunabhängige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = u(x,t)} , so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung
- .
An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t f = f} modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -f^2} enthält. Dieser steht z. B. bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung oder bei chemischen Reaktionen für die Sättigung der Konzentration.
Reaktionsfronten
Verwendet man die Gleichung zur Modellierung einer örtlich lokalisiert startenden Reaktion, so ist klar, dass sich eine Reaktionsfront ausbildet. Diese besitzt, wie man zeigen kann, eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Verwendet man den für Wellen üblichen Ansatz
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x,t) = f(x - vt) = f(w)} ,
so erhält man nach Einsetzen die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_w^2 f + v\partial_w f + f - f^2 = 0} .
Nach Linearisierung und unter der Annahme, dass die "Konzentration" f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält man die Gleichung für die Eigenwerte
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1,2} = \frac{-v \pm \sqrt{v^2 - 4}}{2}} .
Da diese für stabile Wellen reell sein müssen, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \geq 2} gelten.
Verallgemeinerungen
Die Fisher-Gleichung kann verallgemeinert werden zu:
mit einer positiven ganzen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} .
Im Fall der Fisher-Gleichung gilt dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=1} .
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2
- ↑ F. Hamel, N. Nadirashvili, Entire solutions of the KPP equation, Comm. Pure Appl. Math., Band 52, 1999, S. 1255–1276, doi:10.1002/(SICI)1097-0312(199910)52:10<1255::AID-CPA4>3.0.CO;2-W.
