Konvergenzkriterium von Pringsheim

Die Konvergenzkriterium von Pringsheim oder auch Hauptkriterium von Pringsheim ist ein Kriterium über das Konvergenzverhalten von unendlichen Kettenbrüchen. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim und gehört zu den klassischen Lehrsätzen der Kettenbruchlehre innerhalb der Analytischen Zahlentheorie. In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Kriterium auch unter dem Namen Śleszyński-Pringsheim's theorem (u. Ä.) geführt, wobei der erstgenannte Name auf den polnisch-russischen Mathematiker Ivan Śleszyński (1854–1931) verweist, der dieses Kriterium ebenfalls und schon vor Pringsheim gefunden hatte. Es gibt Hinweise darauf, dass Alfred Pringsheim die entsprechende Veröffentlichung von Ivan Śleszyński möglicherweise kannte, als er seine Veröffentlichung im Jahre 1898 machte. Anzufügen ist hier aber auch der Hinweis von Oskar Perron im Band II seiner Lehre von den Kettenbrüchen, wonach der wesentliche Inhalt dieses Satzes schon in dem Lehrbuch der algebraischen Analysis von Moritz Abraham Stern (Leipzig 1860) zu finden ist.

Formulierung der Kriteriums

Teil I

Für zwei Folgen komplexer Zahlen   $(a_{i})_{i=1,2,3\dots }$   und   $(b_{i})_{i=1,2,3\dots }$   mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

$|b_{i}|\geq |a_{i}|+1$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

$f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{\ddots +{\cfrac {a_{n}}{b_{n}}}}}}}}}$   $(n=1,2,3,\dots )$

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert $f\in \mathbb {C}$ mit

  $f=\lim _{n\to \infty }f_{n}={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

Teil II

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

$|f_{n}|<1$   $(n=1,2,3\dots )$   und damit   $|f|\leq 1$.

Teil III

Der Grenzfall   $|f|=1$   liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)   $|b_{i}|={|a_{i}|+1}$   $(i=1,2,3\dots )$

(IIIb)   Alle   ${\frac {a_{i+1}}{{b_{i}}\cdot {b_{i+1}}}}$   $(i=1,2,3\dots )$ sind negative reelle Zahlen.

(IIIc) Die Reihe   ${\sum _{i=1}^{\infty }{|a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{i}|}}$   ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert  $f={\frac {a_{1}\cdot |b_{1}|}{|a_{1}|\cdot b_{1}}}$.

Folgerungen

Aus dem Konvergenzkriterium von Pringsheim lassen sich mehrere weitere Konvergenzkriterien ableiten. Dazu zählen die folgenden:

Folgerung I: Der Satz von Worpitzky

Für eine Folge komplexer Zahlen   $(a_{i})_{i=1,2,3\dots }$  , die in allen Folgengliedern die Ungleichung

$|a_{i}|\leq {\frac {1}{4}}$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt, ist der Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}={\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+\ddots }}}}}}$

stets konvergent.

Dabei gilt für die Näherungsbrüche   $f_{n}$   $(i=1,2,3\dots )$   stets

$|f_{n}|<{\frac {1}{2}}$

und dementsprechend für den Wert   $f$   des Kettenbruchs

$|f|\leq {\frac {1}{2}}$.

Der Satz von Worpitzky wurde im Jahre 1865 von Julius Worpitzky veröffentlicht und gilt als das erste Konvergenzkriterium für Kettenbrüche mit Elementen der komplexen Ebene.

Folgerung II: Weiteres Konvergenzkriterium von Pringsheim

Durch Spezialisierung findet man mit dem Konvergenzkriterium von Pringsheim ein weiteres, das Alfred Pringsheim in seiner Arbeit Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche in den Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften von 1898 selbst formuliert hat und das wie folgt lautet:

Für eine Folge komplexer Zahlen   $(b_{i})_{i=1,2,3\dots }$  , die in allen Folgengliedern die Ungleichung

${{\frac {1}{|b_{2i-1}|}}+{\frac {1}{|b_{2i}|}}}\leq 1$   $(i=1,2,3\dots )$

erfüllt, ist der reguläre Kettenbruch

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}={\cfrac {1}{b_{1}+{\cfrac {1}{b_{2}+{\cfrac {1}{b_{3}+\ddots }}}}}}$

stets konvergent.

Dieses weitere Konvergenzkriterium von Pringsheim ist beispielsweise immer anwendbar für den Fall, dass alle Teilnenner   $b_{i}$   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i=1,2,3 \dots)} mindestens den Betrag 2 haben.

Zugehörige Kriterien: Die Sätze von Stern-Stolz und von Seidel-Stern sowie der Konvergenzsatz von Tietze

Im Falle der regulären unendlichen Kettenbrüche existieren hinsichtlich der Frage der Konvergenz und Divergenz einige Kriterien, die als Ergänzung zum pringsheimschen Konvergenzkriterium immer wieder zum Tragen kommen. Dazu zählen die im Folgenden dargestellten Sätze, die neben diesem zu den klassischen Resultaten der Kettenbruchkonvergenztheorie zählen.

Satz von Stern-Stolz

Der Satz von Stern-Stolz formuliert eine sehr allgemeine Bedingung für die Divergenz regulärer unendlicher Kettenbrüche und lautet wie folgt:

Ein beliebiger komplexer Kettenbruch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}}}

zu einer Folge komplexer Zahlen   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i \in \Complex }   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i=1,2,3\dots) }

ist divergent, wenn die zugehörige Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty b_i}

absolut konvergent ist. D. h.: Für die Konvergenz des Kettenbruchs ist es stets notwendig, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty {|b_i|} = \infty}

gilt.

Dieses Kriterium geht auf Moritz Abraham Stern und Otto Stolz zurück.

Satz von Seidel-Stern

Der Satz von Seidel-Stern verschärft den Satz von Stern-Stolz für den Fall regulärer unendlicher Kettenbrüche mit durchweg positiven Teilnennern, indem er die zuletzt genannte Bedingung sogar als notwendige und hinreichende Bedingung ausweist. Er lautet also:

Für eine Folge positiver reeller Zahlen   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b_i)_{i=1,2,3\dots} }   konvergiert der Kettenbruch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}}}

dann und nur dann, wenn die zugehörige Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty b_i}

divergiert.

Dieses Kriterium geht auf Philipp Ludwig von Seidel und Moritz Abraham Stern zurück. Es kommt zum Tragen, wenn die in Teil I des pringsheimschen Kriteriums genannte Ungleichung nicht durchgängig erfüllbar ist, jedoch in Verbindung mit der vorausgesetzten Positivität der Teilnenner durch die Reihendivergenzbedingung ersetzt werden kann.

Konvergenzsatz von Tietze

Der Konvergenzsatz von Tietze behandelt ebenfalls das Konvergenzverhalten unendlicher Kettenbrüche. Er geht zurück auf den deutschen Mathematiker Heinrich Tietze und besagt Folgendes:

Es seien zwei Folgen reeller Zahlen   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_i)_{i=1,2,3\dots} }   und   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b_i)_{i=0,1,2,3\dots} }   gegeben, die für alle Indizes   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \in \N }   den folgenden drei Bedingungen genügen:

  (I)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | a_i | = 1 }

  (II)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i \geq 1 }

  (III)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i + a_{i+1} \geq 1 }

Dann ist der zugehörige Kettenbruch

  (*)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_0 + \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}}

stets konvergent. Die Folge der Näherungsbrüche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_n= b_0 +{\cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{ \ddots + \cfrac{a_n}{b_n} }}} }}   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n=0,1,2,3, \dots)}

konvergiert dabei in   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R }   gegen den Grenzwert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f = \lim_{n\to\infty} f_n = b_0 + {\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+ \ddots}}}}}

und dabei gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_0 < f \leq b_0 + 1 } , falls   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 = 1 } ,

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_0 - 1 \leq f < b_0 } , falls   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1 = -1 }   .

Darüber hinaus erfüllen die Nenner   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n}   der Näherungsbrüche   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_n}     Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n=0,1,2,3 \dots)}   stets die Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n \geq 1}

und es ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n\to \infty} B_n = \infty} .

Zusammenhang mit Irrationalität

Ausgehend vom Konvergenzsatz von Tietze lassen sich Irrationalitätsaussagen erzielen. Wie schon Heinrich Tietze selbst bewies, konvergiert jeder unendliche Kettenbruch der Form   (*)   stets – mit einer einzigen Ausnahme! – gegen eine irrationale Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , sofern man die Bedingungen wie folgt verschärft:

  (Ia)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle | a_i | = 1 }

  (IIb)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_0 \in \Z }  ,   (IIa)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i \in \N }

  (IIIa)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{i+1} = 1 }  , sofern   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i = 1 }

  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i=1,2,3\dots) }

Die Ausnahme liegt dann vor, wenn ab einem Index   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_0 }   für alle Indizes   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i > i_0 }   zusätzlich die folgende Ausnahmebedingung   (A)   erfüllt ist:

  (A)   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i = -1} ,   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i = 2}

In diesem Ausnahmefall ist der Grenzwert   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f }   eine rationale Zahl.

Beispiele und Anwendung

Beispiel I

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim konvergiert der folgende unendliche Kettenbruch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} g &=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{i}{i+1} \\ &= {\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\;\,\ddots}}}} } \\ \end{align} }

Da   (IIIb)   nicht erfüllt ist, ist   Teil III   nicht anwendbar. Vielmehr ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g = {\frac{1}{e-2}}- 1 = 0{,}3922111911773330\dotso }  ,

wie sich aus den von Leonhard Euler und Ernesto Cesàro gefundenen Kettenbruchentwicklungen der eulerschen Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e}   ergibt. Daher ist wegen der Transzendenz der eulerschen Zahl die Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g}   ebenfalls eine transzendente Zahl.

Beispiel II

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim und sogar nach der oben genannten Folgerung II konvergiert genauso der reguläre Kettenbruch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} h &=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{i+1} \\ &= {\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}} } \\ \end{align} }  .

Hier ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = {\frac{1}{c_1}}- 1 = 0{,}433127426\dotso }  ,

wobei   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1 = 0{,}6977746579\dotso }   eine Konstante darstellt, die mit der sogenannten Euler-Gompertz-Konstanten verwandt ist. Wie Carl Ludwig Siegel gezeigt hat, gehört auch   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1 }   zu den transzendenten Zahlen. Also ergibt sich auch hier, dass die Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h}   transzendent ist.

Beispiel III

Nach der oben genannten Folgerung II konvergiert schließlich auch für beliebiges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \in \Complex} ,   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z| \geq 2}   immer der folgende unendliche Kettenbruch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f(z) &= \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{z} \\ &= \cfrac{1}{z+\cfrac{1}{z+\cfrac{1}{z+ \ddots}}} \\ \end{align} }

Hierfür gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f(z) &= \frac{1}{z + f(z)}\\ &= \frac{\sqrt{z^2 + 4} - z}{2}\\ \end{align} }   .

Insbesondere ergibt sich für   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = 2}  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f(2) &= \frac{\sqrt{8} - 2}{2}\\ &= \sqrt{2} - 1\\ \end{align} }

und so

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \sqrt{2} &= 1 + {\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{2}} \\ &= 1 + {\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+ \ddots}}}} \\ \end{align} }   .

Beispiel IV

Wenn man in Beispiel III   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = 1}   einsetzt, so erhält man ebenfalls einen konvergenten unendlichen Kettenbruch   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi} , wobei hier die Konvergenz zwar nicht durch das Konvergenzkriterium von Pringsheim, jedoch durch das Seidel-Sternsche Kriterium gesichert ist.

Es gilt nämlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \psi &= {\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{1}} \\ &= 1 + {\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+ \ddots}}}} \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\ &= \frac{1}{\Phi} \\ \end{align} } ,

wobei   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi}   für die Goldene Zahl steht.

Gegenbeispiel

Wird in Beispiel III   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z = {\mathrm i}}   gesetzt, also gleich der imaginären Einheit, so erhält man keinen konvergenten unendlichen Kettenbruch. Der unendliche Kettenbruch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f(z) &= \underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{\mathrm i} \\ &= \cfrac{1}{{\mathrm i}+\cfrac{1}{{\mathrm i}+\cfrac{1}{{\mathrm i}+ \ddots}}} \\ \end{align} }

ist also divergent, obwohl die Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n}

mit   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_n = {\mathrm i}}   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n=1,2,3\dots) }   selbst auch divergiert.

Dies zeigt, dass der Satz von Stern-Stolz im Allgemeinen nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von regulären unendlichen Kettenbrüchen angibt.

Anwendung: Darstellung reeller Zahlen durch negativ-regelmäßige Kettenbrüche

Ein unendlicher reeller Kettenbruch der Form

(*) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_0 +{\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{-1}{b_i}}= b_0 -{\cfrac{1}{b_1-\cfrac{1}{b_2-\cfrac{1}{b_3-\ddots}}} } }

zu natürlichen Zahlen     Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i \in \N }   mit   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i \geq 2 }   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i=1,2,3\dots) }   und zu ganzzahligem Anfangsglied  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_0 \in \Z }   heißt nach Alfred Pringsheim negativ-regelmäßig.

Die Namensgebung erklärt sich aus der engen Verwandtschaft mit den regelmäßigen Kettenbrüchen, die Pringsheim in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre ebenfalls behandelt.

Jeder unendliche negativ-regelmäßige Kettenbruch ist nach dem pringsheimschen Konvergenzkriterium konvergent.

Ausgehend davon erhält man den folgenden Darstellungssatz:

Formulierung des Darstellungssatzes

Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi \in \R }   durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b_i)_{i=0,1,2,3\dots} }   durch   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi}   eindeutig bestimmt ist.

Zusatz I: Algorithmus zur Bestimmung der Teilnenner

Die Teilnenner lassen sich durch folgenden Algorithmus gewinnen:

Für allgemeines   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in \R }   sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x) }

die kleinste ganze Zahl größer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } . Man hat also stets

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x < G(x) \leq x+1 }

und damit unter Benutzung der Gaußklammerfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x) = {\lfloor x \rfloor} + 1 }   .

Folglich ist stets

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{G(x) - x} \geq 1 }   .

Damit wird zunächst mittels Rekursion eine Folge   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_i)_{i=0,1,2,3\dots} }   definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 := \xi }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i := \frac{1}{G(x_{i-1}) - x_{i-1}} }   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i=1,2,3 \dots) }

Dann setzt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i := G(x_i)}   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i=0,1,2,3 \dots) }  .

Zusatz II: Unterscheidung rationaler und irrationaler Zahlen

Eine rationale Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi \in \Q }   ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) ab einem gewissen Index   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_{\xi} \in \{ 0,1,2,3\dots \} } für   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \geq i_{\xi} }     jeder Teilnenner   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i = 2 }   ist, während sich eine irrationale Zahl   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi \in {\R \setminus \Q}}   dadurch auszeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) unendlich viele Teilnenner   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_{i_k} \geq 3 }   sind   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (k=0,1,2,3\dots) } .

Beispiele für negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellungen

Folgende Beispiele lassen sich angeben:

1. Darstellung der 1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 = 2 - {\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\dotsb}}}}}}}} }}

Dies folgt wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1 = 1 - 2 } direkt aus Teil III des pringsheimschen Kriteriums.

2. Darstellung der Wurzel aus 2

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2} = 2 - {\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\dotsb}}}}}}}} }}

3. Darstellung der Wurzel aus 3

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{3} = 2 - {\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{4-\dotsb}}}}}}}} }}

4. Darstellung der Wurzel aus 7

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{7} = 3 - {\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{6-\dotsb}}}}}}}} }}

5. Darstellungen zur goldenen Zahl

(a) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} {\Phi} &= \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \\ &= 2 - {\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\dotsb}}}}}}}} } \\ \end{align} }

(b) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{1}{\Phi} &= {\Phi} -1 \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\ &= 1 - {\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{3-\dotsb}}}}}}}} } \\ \end{align} }

Anmerkungen

1. Auf Alfred Pringsheim gehen noch weitere Konvergenzkriterien für unendliche Kettenbrüche zurück. Darüber hinaus gibt es noch eine erhebliche Anzahl anderer Konvergenzkriterien.
2. Aus dem Darstellungssatz folgt unmittelbar, dass die Menge der reellen Zahlen von überabzählbarer Mächtigkeit ist.

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge Univity Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-81805-2. 
• Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (= Studies in computational mathematics. Band 3). Elsevier, Amsterdam u. a. 1992, ISBN 0-444-89265-6. 
• William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 11). Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass. u. a. 1980, ISBN 0-201-13510-8. 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02021-1 (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1954). 
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1957). 
• Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org). 
• Alfred Pringsheim: Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band: Zahlenlehre. Dritte Abteilung: Komplexe Zahlen – Reihen mit komplexen Gliedern – Unendliche Produkte und Kettenbrüche (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. XL, I.3). Teubner Verlag, Leipzig und Berlin 1921. 
• W. J. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13–20 (MR1192192). 
• Heinrich Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 236–265 (digizeitschriften.de). 
• Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Elsevier, Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0. 
• Hubert Stanley Wall: Analytic Theory of Continued Fractions. (= Chelsea Scientific Books. Band 207). Chelsea Publishing Company, Bronx, N. Y. 1967, ISBN 0-8284-0207-8 (Reprint der Auflage von Van Norstrand, New York 1948). 
• J. Worpitzky: Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche. In: Friedrichs-Gymnasium und Realschule: Jahresbericht. 1865, S. 3–39.