Lindelöfsche Vermutung

Die lindelöfsche Vermutung ist eine 1905 von Ernst Leonard Lindelöf aufgestellte und bis heute unbewiesene Vermutung über die Ordnung der riemannschen Zetafunktion $\zeta (s)$ entlang der „kritischen Geraden“ $1/2+\mathrm {i} t$.

Die lindelöfsche Vermutung besagt, dass $|\zeta (1/2+\mathrm {i} t)|={\mathcal {O}}(t^{\epsilon })$ für $t\to \infty$ und jedes $\epsilon >0$. Dabei ist ${\mathcal {O}}$ das Bachmann-Landau-Symbol.

Bisher konnten nur schwächere Aussagen der Form $|\zeta (1/2+\mathrm {i} t)|={\mathcal {O}}(t^{k+\epsilon })$ bewiesen werden: Der 1930 von Johannes van der Corput und Jurjen Koksma ermittelte Wert $k=1/6=0{,}166\dots$ konnte seither schrittweise leicht verbessert werden, zuletzt auf $k=89/570=0{,}156\dots$ von Martin Huxley.

Die lindelöfsche Vermutung ist schwächer als die riemannschen Vermutung: Mit einem Beweis der riemannschen Vermutung wäre auch die lindelöfsche Vermutung bewiesen, nicht jedoch umgekehrt.

Literatur

• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function. 2. Auflage, Clarendon Press, Oxford 1986, ISBN 0-19-853369-1.