Kürzbarkeit

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma $(M,*)$.

Definition

Ein Element $c\in M$ heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle $a,b\in M$ gilt:

$c*a=c*b\implies a=b,$

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle $a,b\in M$ gilt:

$a*c=b*c\implies a=b.$

$c\in M$ heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn $c$ links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

• In einem Ring $(R,+,\cdot )$ ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.
• In einer Quasigruppe sind alle Elemente kürzbar.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe $(S,*)$ heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes $a\in S$ kürzbar ist.

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition $(\mathbb {N} ,+)$ oder mit der üblichen Multiplikation $(\mathbb {N} ,\cdot )$ ist eine kürzbare Halbgruppe.
• Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum $(\mathbb {N} ,{\text{max}})$ oder mit dem Minimum $(\mathbb {N} ,{\text{min}})$ ist keine kürzbare Halbgruppe.