Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei $M$ ein Modul über einem Ring $A$. Die Länge von $M$ ist das Supremum der Längen $n$ von Ketten von Untermoduln der Form

$0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \dotsb \subsetneq N_{n}=M.$

Die Länge wird oft mit $\ell _{A}(M)$ oder $\ell (M)$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Nur der Nullmodul hat Länge 0.
• Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
• Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
• Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

exakt, so ist $\ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')$; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

• Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele

• Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
• Der $\mathbb {Z}$-Modul $\mathbb {Z}$ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl $n$ ist

$0\subset 2^{n}\mathbb {Z} \subset 2^{n-1}\mathbb {Z} \subset \dotsb \subset \mathbb {Z}$

eine Kette von Untermoduln der Länge $n+1$.

Literatur

• Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0.