Maximales Ideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Es sei $R$ ein Ring. Dann heißt ein Ideal ${\mathfrak {m}}\subsetneq R$ maximal, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{m}} ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \subseteq} halbgeordneten Menge aller echten Ideale. D. h., für jedes echte Ideal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{a} \subsetneq R} gilt:

Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{a} \supseteq \mathfrak{m}} folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{a} = \mathfrak{m}.}

Mit anderen Worten:

Ein echtes Ideal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{m} \subsetneq R} wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} gibt, das ${\mathfrak {m}}$ ganz enthält.

Bemerkungen

• Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
• Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
• Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. In nichtkommutativen Ringen ist das i. A. falsch, wie das Beispiel der Matrizenringe über (Schief)Körpern zeigt.
• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{m}} ein Ideal des kommutativen Ringes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} mit 1. Der Faktorring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R/\mathfrak{m}} ist genau dann ein Körper, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{m}} maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
• Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet. Dies ist dann ein zweiseitiges Ideal, und der Faktorring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R/\mathfrak{m}} wird als der Restklassenkörper des Rings Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R \, } bezeichnet.
• Ein maximales (zweiseitiges) Ideal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{m}\subseteq R} eines Ringes $R$ ist genau dann prim, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle RR \nsubseteq \mathfrak{m}} . Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{m}} prim, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ein Einselement enthält.

Beispiele

• Im Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Z}} der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsringe mit dieser Eigenschaft heißen (falls sie keine Körper sind) eindimensional. Alle Hauptidealringe haben diese Eigenschaft.
• Sei $C(\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus

$\mathrm {ev} _{0}\colon C(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} ,\quad f\mapsto f(0).$

Mit anderen Worten: diejenige Abbildung, die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von $\mathrm {ev} _{0}$ ist $\mathbb {R}$, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit $f(0)=0$, ein maximales Ideal.