Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition

Es seien $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum.

Das Bochner-Integral Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu } einer Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f\colon \Omega \to B} ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

$s(x)=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\chi _{X_{i}}(x)$

mit Faktoren Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha _{i}\in B} und messbaren Mengen $X_{i}\in {\mathcal {A}}$, wobei $\chi _{X_{i}}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int _{\Omega }s\,{\rm {d}}\mu :=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\mu (X_{i})} ,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von $s$ ist.

Eine Funktion $f\colon \Omega \rightarrow B$ heißt $\mu$-messbar, wenn es eine Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ einfacher Funktionen gibt, so dass $\textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)$ für $\mu$-fast alle $x\in \Omega$ gilt.

Eine $\mu$-messbare Funktion $f\colon \Omega \rightarrow B$ heißt Bochner-integrierbar, falls es eine Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ einfacher Funktionen gibt, so dass

• $\lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)$ für $\mu$-fast alle $x\in \Omega$ gilt und
• zu jedem $\varepsilon >0$ ein $n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ existiert mit

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int _{\Omega }\|s_{n}-s_{k}\|{\rm {d}}\mu <\varepsilon } für alle Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n,k\geq n_{0}} .

In diesem Fall ist

$\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }s_{n}\,{\rm {d}}\mu$

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit obigen Eigenschaften. Falls $M\in {\mathcal {A}}$ und $f\colon M\rightarrow B$, so schreibt man

$\int _{M}f{\rm {d}}\mu :=\int _{\Omega }{\tilde {f}}{\rm {d}}\mu$ mit ${\tilde {f}}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm {falls}}\ x\in M\ ,\\0\ ,&{\rm {falls}}\ x\in \Omega \setminus M,\\\end{array}}\right.$

sofern ${\tilde {f}}$ Bochner-integrierbar ist.

Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die $\mu$-Messbarkeit:

Die Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist genau dann $\mu$-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Für jedes stetige lineare Funktional Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \phi \in B'} ist $\phi \circ f\colon \Omega \to {\mathbb {K} }$ $\mu$-messbar.
• Es gibt eine $\mu$-Nullmenge $N\subset \Omega$, so dass $f(\Omega \setminus N)\subset B$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist $B$ ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die $\mu$-Messbarkeit $B$-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die $\mu$-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine $\mu$-messbare Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|f\|:\Omega\to\mathbb{R}} Lebesgue-integrierbar ist.

Eigenschaften

In diesem Abschnitt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ein Banachraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f, g\colon \Omega \rightarrow B} sind integrierbare Funktionen.

Linearität

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f, g \colon \Omega \rightarrow B} und beliebige Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha , \beta \in \mathbb{K} } ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha f + \beta g } integrierbar, und es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{\Omega} (\alpha f + \beta g) \, \mathrm{d}\mu = \alpha \int_{\Omega} f \, \mathrm{d}\mu + \beta \int_{\Omega} g \, \mathrm{d}\mu } .

Verkettung mit einem stetigen Operator

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} ein Banachraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \in L(B,D)} ein stetiger linearer Operator. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T f \colon \Omega \to D} eine integrierbare Funktion und es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \left(\int_\Omega f(x) \mathrm{d} \mu(x) \right) = \int_\Omega T(f(x)) \mathrm{d} \mu(x)} .

Radon–Nikodym-Eigenschaft

→ Hauptartikel: Radon-Nikodym-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Bochner-Lebesgue-Räume

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,\mathcal A,\mu)} ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -endlicher, vollständiger Maßraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (B,\|\cdot\|)} ein Banachraum, so nennt man den Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B)} der Bochner-integrierbaren Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega\rightarrow B} einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} -fast gleiche Funktionen identifiziert werden. Man erhält mit der Norm

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|f\|_1 := \int_\Omega \|f(\omega)\|\mathrm{d}\mu(\omega)}

einen Banachraum. Dieser lässt sich wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^1(\Omega,\mathcal A,\mu) \times B \rightarrow L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B),\, (f,\alpha) \mapsto f(\cdot)\alpha}

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^1(\Omega,\mathcal A,\mu) \mathbin{\hat{\otimes}_{\pi}} B \cong L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B)}

definiert, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\otimes}_{\pi}} das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Siehe auch

• Birkhoff-Integral
• Pettis-Integral

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
• Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks

• Salomon Bochner: Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. (PDF; 799 kB). In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 20, 1933, S. 262–276.
• V. I. Sobolev: Bochner integral. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).
• Integrale vektorwertiger Funktionen. In: Matroids Matheplanet.