S-Dualität (Homotopietheorie)

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet S-Dualität eine Dualität zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie- und Kohomologietheorien.

Definition

Es seien $A$ und $A^{*}$ zwei Spektra. Wir bezeichnen mit $A\wedge A^{*}$ ihr Smash-Produkt und mit $\mathbf {S}$ das Sphärenspektrum.

Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen $A$ und $A^{*}$ ist ein Morphismus von Spektren

$u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}$

so dass für jedes Spektrum $E$ die durch

$u_{E}(\phi ):=(\phi \wedge id_{A^{*}})u$

$u^{E}(\phi ):=(id_{A}\wedge \phi )u$

definierten Abbildungen

$u_{E}\colon \left[A,E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge A^{*}\right]$

$u^{E}\colon \left[A^{*},E\right]\to \left[\mathbf {S} ,A\wedge E\right]$

Bijektionen sind.

Die Spektren $A$ und $A^{*}$ heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus $u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}$ gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.

Zwei Spektren $A$ und $B$ heißen $n$-dual für $n\in \mathbb {N}$, wenn $A$ und $\Sigma ^{n}B$ S-dual sind. Dabei bezeichnet $\Sigma ^{n}B$ das durch $(\Sigma ^{n}B)_{k}=B_{k+n}$ definierte Spektrum.

S-dualer Morphismus

Seien $u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}$ und $v\colon \mathbf {S} \to B\wedge B^{*}$ zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus

$f\colon A\to B$

sein S-dualer Morphismus

$f^{*}\colon B^{*}\to A^{*}$

definiert als das Bild von $f$ unter dem Isomorphismus

$(v^{A^{*}})^{-1}u_{B}\colon \left[A,B\right]\to \left[\mathbf {S} ,B\wedge A^{*}\right]\to \left[B^{*},A^{*}\right]$.

($f^{*}$ ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)

Insbesondere ist $f\in \left[A,B\right]$ genau dann S-dual zu $g\in \left[B^{*},A^{*}\right]$, wenn $u_{B}(f)=v_{A^{*}}(g)$.

Beispiele

• Die kanonische Äquivalenz $u\colon \mathbf {S} \to \Sigma ^{n}\mathbf {S} \wedge \Sigma ^{-n}\mathbf {S}$ ist eine S-Dualität.
• Für eine geschlossene $n$-Mannigfaltigkeit $M$ mit Einhängungsspektrum $\Sigma ^{\infty }M$ wird die Milnor-Spanier S-Dualität

$u\colon \mathbf {S} \to Th(\nu _{M})\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}$

definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung $M\subset S^{N}$ für ein $N\gg n$ und eine Tubenumgebung $M\subset U\subset S^{N}$ mit Projektion $p\colon {\overline {U}}\to M$. Dann ist $Th(\nu _{M})\simeq {\overline {U}}/\partial {\overline {U}}$ und wir betrachten die Komposition

$f\colon S^{N}\to {\overline {U}}/\partial {\overline {U}}\to {\overline {U}}/\partial {\overline {U}}\wedge M_{+}$,

wobei die erste Abbildung $S^{N}-U$ auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von $(id,p)$ induziert wird. Dann ist

$u:=\Sigma ^{-N}\Sigma ^{\infty }f\colon \mathbf {S} \to Th(\nu _{M})\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}$

eine S-Dualität.

Falls $M$ bzgl. eines Ringspektrums $E$ orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen $E$-Orientierungen (Thom-Klassen) unter

$u_{E}\colon \left[Th(\nu _{M}),E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}\right]$

den homologischen $E$-Orientierungen (Fundamentalklassen).

Literatur

• Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008

Weblinks

• Spanier-Whitehead: Duality in homotopy theory
• Milnor-Spanier: Two remarks on fiber homotopy type