Nilpotente Matrix

In der linearen Algebra ist eine nilpotente Matrix eine quadratische Matrix, bei der eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt. Beim nilpotenten Endomorphismus ist eine Potenz die Nullabbildung.

Definition

Eine quadratische Matrix bezeichnet man als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt:

$A^{k}=0$ für ein $k\in \mathbb {N}$

Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus $f$ als nilpotent, wenn es eine Zahl $k\in \mathbb {N}$ gibt, sodass $f\,^{k}$ die Nullabbildung ist. Die kleinste natürliche Zahl $k$, welche dieses Kriterium erfüllt bezeichnet man als Nilpotenzgrad oder Nilpotenzindex. Zwischen nilpotenten Matrizen und nilpotenten Endomorphismen gibt es folgenden Zusammenhang: Zu jeder nilpotenten Matrix $A$ ist die Linksmultiplikation dieser Matrix an Spaltenvektoren ein nilpotenter Endomorphismus. Umgekehrt ist jede Darstellungsmatrix eines nilpotenten Endomorphismus nilpotent.

Äquivalente Definitionen

Für eine quadratische Matrix $A$ mit $n$ Zeilen und Spalten sind folgende Aussagen äquivalent:

• $A$ ist nilpotent.
• Es gibt ein $k\in \mathbb {N}$ mit $A^{k}=0$ und $A^{k-1}\neq 0$. Dann ist $A$ nilpotent mit dem Nilpotenzgrad $k$.
• Das charakteristische Polynom von $A$ hat die Form $\chi _{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)=\lambda ^{n}$.
• Das Minimalpolynom von $A$ hat die Form $m_{A}(\lambda )=\lambda ^{k}$ für ein $k>0$.
• $A$ ist ähnlich zu einer strikten Dreiecksmatrix, das heißt, es existiert eine invertierbare Matrix $P$, so dass gilt:

$\,\,\,\,\,\,\,A=P^{-1}{\begin{pmatrix}0&b_{1,2}&\cdots &b_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &b_{n-1,n}\\0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}P$

• Speziell für Matrizen über $\mathbb {C}$ oder anderen algebraisch abgeschlossenen Körpern gilt, dass sie genau dann nilpotent sind, wenn ihr einziger Eigenwert 0 ist.

Beispiele

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 2 ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{pmatrix}}$

weil

$A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=0$.

Ein Beispiel für eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad 4 ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

weil

$A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\quad A^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\quad A^{4}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}=0$.

Jede $n\times n$-Dreiecksmatrix, deren Hauptdiagonale nur Elemente gleich 0 enthält, ist nilpotent.

Eigenschaften nilpotenter Matrizen

Wenn eine Matrix $A$ nilpotent mit Nilpotenzgrad k ist, dann …

• hat sie nur den Eigenwert Null. Das folgt direkt aus der Form des charakteristischen Polynoms $\chi _{A}(\lambda )=\lambda ^{n}$, dessen Nullstellen die Eigenwerte sind.
• ist sie nicht invertierbar, da sie den Eigenwert null besitzt und somit ihr Kern nicht trivial ist.
• ist entweder $A=0$ oder sie ist nicht diagonalisierbar, da alle Diagonalmatrizen ungleich $0$ nicht nilpotent sind.
• ist die Determinante Null: $\det(A)=0$.
• ist die Spur Null.
• hat sie keinen vollen Rang, d. h. ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent.
• ist $I-A$ invertierbar ($I$ ist die Einheitsmatrix), denn es ist $(I-A)\left(I+A+A^{2}+...+A^{k-1}\right)=I-A^{k}=I$.

Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel „Nilpotentes Element“ getroffenen allgemeinen Aussagen auch hier.

Jordan-Chevalley-Zerlegung

Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem algebraisch abgeschlossenen Körper lässt sich eindeutig als Summe eines diagonalisierbaren und eines nilpotenten Endomorphismus schreiben. Diese Zerlegung wird als Jordan-Chevalley-Zerlegung bezeichnet und ist im Wesentlichen eine Folge der Existenz der Jordanschen Normalform.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger) (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, S. 384.