Quaternionisch-hyperbolischer Raum

Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

Definition

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb H} die Quaternionen und sei $\mathbb {H} ^{n,1}$ der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb H} -Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb H^{n+1}} mit der Quaternionisch-hermiteschen Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle U,V\rangle=-u_{n+1}\overline{v}_{n+1}+\sum_{j=1}^nu_j\overline{v}_j}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=(u_1,\ldots,u_{n+1}), V=(v_1,\ldots,v_{n+1})} . (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{a+bi+cj+dk}:=a-bi-cj-dk} für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n=\left\{X\in\mathbb H^{n,1}: \langle X,X\rangle=-1\right\}}

mit der von der Hermiteschen Form $\langle .,.\rangle$ induzierten Riemannschen Metrik.

Siegel-Modell

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell. Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \langle U,V\rangle ={\overline {u}}_{1}v_{n+1}+{\overline {u}}_{2}v_{2}+\ldots +{\overline {u}}_{n}v_{n}+{\overline {u}}_{n+1}v_{1}} , betrachtet das Bild von $V_{-}:=\left\{U\in \mathbb {H} ^{n+1}:\langle U,U\rangle <0\right\}$ unter der Projektion auf den projektiven Raum Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \pi :\mathbb {H} ^{n+1}\rightarrow P\mathbb {H} ^{n}} und definiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n:=\pi(V_-)\subset P\mathbb H^n} .

Geometrie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n} ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n} gilt die Ungleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4\le K\le -1} . Ebenen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb RH^n\subset \mathbb HH^n} haben Schnittkrümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} , während die Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb CH^1\subset\mathbb HH^1\subset\mathbb HH^n} die Schnittkrümmung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -4} hat.

Isometrien und Quasi-Isometrien

Die Isometriegruppe des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(n,1)=Sp(n,1)/\left\{\pm 1\right\}} , dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n,1)} die Lie-Gruppe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n,1)=\left\{A\in GL(n+1,\mathbb H): \langle AU,AV\rangle=\langle U,V\rangle \forall U,V\in\mathbb H^{n,1}\right\}=GL(n+1,\mathbb H)\cap U(2n,2)} .

Alle Quasi-Isometrien des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n} haben endlichen Abstand von einer Isometrie.

Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb HH^n} ist.

Weblinks

• Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf
• Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf