Total reelle Untermannigfaltigkeit

Total reelle Untermannigfaltigkeiten kommen in der komplexen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern das Konzept, den reellen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} als Unterraum des komplexen Raumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^n} aufzufassen.

Definition

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,J)} eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit. Das heißt, $J\colon TM\to TM$ ist eine glatte Abbildung des Tangentialbündels von $M$ auf sich derart, dass die Einschränkungen $J|_{T_{x}M}\colon T_{x}M\to T_{x}M$, für alle $x\in M$, Vektorraumautomorphismen sind und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle J|_{T_{x}M}\circ J|_{T_{x}M}=-\operatorname {id} _{T_{x}M}} genügen.

Eine immersierte Untermannigfaltigkeit $N$ von $M$ heißt nun total reell, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_yN\cap J(T_yN)= \vec 0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y\in N} gilt.

Von all den Vektoren, die im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} tangential zu $N$ liegen, bildet die fastkomplexe Struktur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J} also ausschließlich den Nullvektor wieder auf einen Tangentialvektor von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} ab. Anschaulich gesprochen haben die Punkte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} also nur "reelle" Tangentialvektoren und keine tatsächlich "komplexen".

Beispiele

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n\subset\Complex^n} ist total reell.
• Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit ist total reell.

Literatur

• Bang-Yen Chen, "Riemannian submanifolds”, 187–418. in: Handbook of differential geometry. Vol. I. Edited by Franki J. E. Dillen and Leopold C. A. Verstraelen. North-Holland, Amsterdam, 2000. ISBN 0-444-82240-2
• Michèle Audin, François Lalonde, Leonid Polterovich: "Symplectic rigidity: Lagrangian submanifolds”, 271–321. in: Holomorphic curves in symplectic geometry. Edited by Michèle Audin and Jacques Lafontaine. Progress in Mathematics, 117. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-2997-1