Immersion (Mathematik)

Eine nicht injektive Immersion: R → R², t ↦ (t² − 1, t · (t² − 1))

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F\colon M\rightarrow N$ zwischen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$, wenn der Pushforward $F_{\ast p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p\in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus $F$ eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu $M$ diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von $N.$

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt $F_{\ast }:T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{F(p)}\mathbb {R} ^{n}$ nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix $DF(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Immersion in Mannigfaltigkeiten

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung $F:M\rightarrow N$ genau dann eine Immersion, wenn für alle $p\in M$ der Rang der linearen Abbildung $F_{\ast }$ gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit $M$ ist, also gilt

$\operatorname {rang} F_{p}=\dim(\operatorname {Bild} (F_{\ast p}))=\dim M.$

Reguläre Homotopie

Zwei Immersionen $F_{0},F_{1}\colon M\to N$ heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie $F\colon M\times \left[0,1\right]\to N$ gibt mit $F(m,0)=F_{0}(m),F(m,1)=F_{1}(m)\forall m\in M$ so dass für jedes $t\in \left[0,1\right]$ die Abbildung

$F_{t}\colon M\to N$

$F_{t}(m)=F(m,t)$

wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.

Siehe auch

• Submersion

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.